$x = \sqrt{2} + \sqrt{3}$、 $y = \sqrt{2} - \sqrt{3}$ のとき、次の式の値を求めます。 (1) $x^2 + 2xy + y^2$ (2) $x^2 - y^2$

1. 問題の内容

$x = \sqrt{2} + \sqrt{3}$、 $y = \sqrt{2} - \sqrt{3}$ のとき、次の式の値を求めます。

(1) $x^2 + 2xy + y^2$

(2) $x^2 - y^2$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + 2xy + y^2$ は $(x+y)^2$ と因数分解できます。

$x + y = (\sqrt{2} + \sqrt{3}) + (\sqrt{2} - \sqrt{3}) = 2\sqrt{2}$

したがって、

$(x+y)^2 = (2\sqrt{2})^2 = 4 \times 2 = 8$

(2) $x^2 - y^2$ は $(x+y)(x-y)$ と因数分解できます。

$x + y = (\sqrt{2} + \sqrt{3}) + (\sqrt{2} - \sqrt{3}) = 2\sqrt{2}$

$x - y = (\sqrt{2} + \sqrt{3}) - (\sqrt{2} - \sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$

したがって、

$(x+y)(x-y) = (2\sqrt{2})(2\sqrt{3}) = 4\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(1) 8

(2) $4\sqrt{6}$