方程式 $18 \times (\frac{1}{3})^{n-1} = 2 \times (\frac{1}{3})^{n-3}$ を解いて、$n$ の値を求めます。

1. 問題の内容

方程式 $18 \times (\frac{1}{3})^{n-1} = 2 \times (\frac{1}{3})^{n-3}$ を解いて、$n$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、両辺を 2 で割ります。

$9 \times (\frac{1}{3})^{n-1} = (\frac{1}{3})^{n-3}$

次に、9を $3^2$ と書き換えます。

$3^2 \times (\frac{1}{3})^{n-1} = (\frac{1}{3})^{n-3}$

$3^2$ を $(\frac{1}{3})^{-2}$ と書き換えます。

$(\frac{1}{3})^{-2} \times (\frac{1}{3})^{n-1} = (\frac{1}{3})^{n-3}$

指数法則を用いて、左辺をまとめます。

$(\frac{1}{3})^{-2 + n - 1} = (\frac{1}{3})^{n-3}$

$(\frac{1}{3})^{n-3} = (\frac{1}{3})^{n-3}$

指数部分が等しいので、

$n - 3 = n - 3$

この式は、$n$ に関わらず常に成立します。しかし、元の式に戻って確認してみましょう。

$18 \times (\frac{1}{3})^{n-1} = 2 \times (\frac{1}{3})^{n-3}$

$18 \times (\frac{1}{3})^{n-1} = 2 \times (\frac{1}{3})^{n-1} \times (\frac{1}{3})^{-2}$

$18 \times (\frac{1}{3})^{n-1} = 2 \times (\frac{1}{3})^{n-1} \times 3^2$

$18 \times (\frac{1}{3})^{n-1} = 18 \times (\frac{1}{3})^{n-1}$

この式は $n$ がどんな値でも成立します。

ただし、最初の式を変形する際に、両辺を $(\frac{1}{3})^{n-1}$で割ることを考えると、$(\frac{1}{3})^{n-1} \neq 0$ である必要があります。これは、どんな $n$ に対しても成立します。

3. 最終的な答え

n は全ての実数