(1) 絶対値を含む方程式 $|x-3|+|2x-3|=9$ を解きます。 (2) 連立不等式 $\begin{cases} 4-3x < 2x+1 \le x+6 \\ 2\sqrt{(x-3)^2} \ge x-1 \end{cases}$ を解きます。 (3) 連立不等式 $\begin{cases} (\sqrt{3}-2)x < -1 \\ |1-x| \ge 3 \end{cases}$ を解きます。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

(1) 絶対値を含む方程式 $|x-3|+|2x-3|=9$ を解きます。

(2) 連立不等式

$\begin{cases} 4-3x < 2x+1 \le x+6 \\ 2\sqrt{(x-3)^2} \ge x-1 \end{cases}$

を解きます。

(3) 連立不等式

$\begin{cases} (\sqrt{3}-2)x < -1 \\ |1-x| \ge 3 \end{cases}$

を解きます。

2. 解き方の手順

(1) 絶対値を含む方程式 $|x-3|+|2x-3|=9$ の解法:

場合分けを行います。

(i) $x < \frac{3}{2}$ のとき:

$-(x-3) - (2x-3) = 9$

$-x+3-2x+3 = 9$

$-3x = 3$

$x = -1$

これは $x < \frac{3}{2}$ を満たすので解の一つです。

(ii) $\frac{3}{2} \le x < 3$ のとき:

$-(x-3) + (2x-3) = 9$

$-x+3+2x-3 = 9$

$x = 9$

これは $\frac{3}{2} \le x < 3$ を満たさないので解ではありません。

(iii) $x \ge 3$ のとき:

$(x-3) + (2x-3) = 9$

$3x-6 = 9$

$3x = 15$

$x = 5$

これは $x \ge 3$ を満たすので解の一つです。

(2) 連立不等式

$\begin{cases} 4-3x < 2x+1 \le x+6 \\ 2\sqrt{(x-3)^2} \ge x-1 \end{cases}$

の解法:

まず、一つ目の不等式を解きます。

$4-3x < 2x+1$ より

$3 < 5x$

$x > \frac{3}{5}$

$2x+1 \le x+6$ より

$x \le 5$

したがって、$\frac{3}{5} < x \le 5$

次に、二つ目の不等式を解きます。

$2\sqrt{(x-3)^2} \ge x-1$

$2|x-3| \ge x-1$

(i) $x \ge 3$ のとき:

$2(x-3) \ge x-1$

$2x-6 \ge x-1$

$x \ge 5$

(ii) $x < 3$ のとき:

$2(3-x) \ge x-1$

$6-2x \ge x-1$

$7 \ge 3x$

$x \le \frac{7}{3}$

したがって、$x \le \frac{7}{3}$

これらを合わせると、$x \le \frac{7}{3}$ または $x \ge 5$ となります。

一つ目の不等式の解 $\frac{3}{5} < x \le 5$ と合わせると、$\frac{3}{5} < x \le \frac{7}{3}$ または $x = 5$ となります。

(3) 連立不等式

$\begin{cases} (\sqrt{3}-2)x < -1 \\ |1-x| \ge 3 \end{cases}$

の解法:

まず、一つ目の不等式を解きます。

$(\sqrt{3}-2)x < -1$

$x > \frac{-1}{\sqrt{3}-2} = \frac{-1(\sqrt{3}+2)}{(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)} = \frac{-(\sqrt{3}+2)}{3-4} = \sqrt{3}+2$

したがって、$x > \sqrt{3}+2 \approx 1.732 + 2 = 3.732$

次に、二つ目の不等式を解きます。

$|1-x| \ge 3$ より

$1-x \ge 3$ または $1-x \le -3$

$1-x \ge 3$ より $-x \ge 2$ なので $x \le -2$

$1-x \le -3$ より $-x \le -4$ なので $x \ge 4$

したがって、$x \le -2$ または $x \ge 4$

これらを合わせると、$x \ge 4$ です。なぜなら、$x > \sqrt{3}+2$ を満たしているからです。

$\sqrt{3}+2 < x \le -2$ を満たす $x$ は存在しないため、$x \ge 4$ が答えとなります。

3. 最終的な答え

(1) $x=-1, 5$

(2) $\frac{3}{5} < x \le \frac{7}{3}$ または $x = 5$

(3) $x \ge 4$