$(x+y-3z)^8$ の展開式における $x^3y^3z^2$ の項の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(x+y-3z)^8$ の展開式における $x^3y^3z^2$ の項の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

多項定理を使います。 $(x+y-3z)^8$ の展開式における一般項は、

$$\frac{8!}{p!q!r!}x^py^q(-3z)^r$$

ここで、 $p+q+r = 8$ です。

$x^3y^3z^2$ の項を探しているので、$p=3$, $q=3$, $r=2$ である必要があります。このとき、$p+q+r = 3+3+2 = 8$ を満たしています。

したがって、$x^3y^3z^2$ の項は、

$$\frac{8!}{3!3!2!}x^3y^3(-3z)^2 = \frac{8!}{3!3!2!}x^3y^3(9z^2)$$

となります。

係数は

$$\frac{8!}{3!3!2!} \times 9 = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(6 \times 6 \times 2)} \times 9 = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 6}{6 \times 2} \times 9 = 8 \times 7 \times 5 \times 2 \times 6 \times 9 = 56 \times 5 \times 12 \times 9= 56 \times 540 = 30240$$

3. 最終的な答え

$30240$