与えられた4x4の行列式 $\begin{vmatrix} a & b & b & b \\ b & a & b & b \\ b & b & a & b \\ b & b & b & a \end{vmatrix}$ の値を求め、選択肢の中から正しいものを選ぶ問題です。
2025/6/29
1. 問題の内容
与えられた4x4の行列式
$\begin{vmatrix}
a & b & b & b \\
b & a & b & b \\
b & b & a & b \\
b & b & b & a
\end{vmatrix}$
の値を求め、選択肢の中から正しいものを選ぶ問題です。
2. 解き方の手順
行列式を計算するために、いくつかの行に対する操作を行います。
まず、2行目から1行目を、3行目から1行目を、4行目から1行目を引きます。
$\begin{vmatrix}
a & b & b & b \\
b-a & a-b & 0 & 0 \\
b-a & 0 & a-b & 0 \\
b-a & 0 & 0 & a-b
\end{vmatrix}$
次に、1列目に2列目、3列目、4列目を加えます。
$\begin{vmatrix}
a+3b & b & b & b \\
b-a & a-b & 0 & 0 \\
b-a & 0 & a-b & 0 \\
b-a & 0 & 0 & a-b
\end{vmatrix}$
ここで、行列式は、第一列について展開することで計算できます。
$\begin{aligned}
\det &= (a+3b) \begin{vmatrix}
a-b & 0 & 0 \\
0 & a-b & 0 \\
0 & 0 & a-b
\end{vmatrix} - (b-a) \begin{vmatrix}
b & b & b \\
0 & a-b & 0 \\
0 & 0 & a-b
\end{vmatrix} + (b-a) \begin{vmatrix}
b & b & b \\
a-b & 0 & 0 \\
0 & 0 & a-b
\end{vmatrix} - (b-a) \begin{vmatrix}
b & b & b \\
a-b & 0 & 0 \\
0 & a-b & 0
\end{vmatrix} \\
&= (a+3b)(a-b)^3 - (b-a)b(a-b)^2 + (b-a)b(a-b)^2 - (b-a)b(a-b)^2 \\
&= (a+3b)(a-b)^3 - 3b(b-a)(a-b)^2 \\
&= (a+3b)(a-b)^3 + 3b(a-b)(a-b)^2 \\
&= (a+3b)(a-b)^3 + 3b(a-b)^3 \\
&= (a+3b+3b)(a-b)^3 \\
&= (a+6b)(a-b)^3
\end{aligned}$
ただし、計算を簡単にするために、１行目に(-1)を掛けて各行を足します。
$\begin{vmatrix}
a & b & b & b \\
b & a & b & b \\
b & b & a & b \\
b & b & b & a
\end{vmatrix}$
1行目を2行目、3行目、4行目から引くと
$\begin{vmatrix}
a & b & b & b \\
b-a & a-b & 0 & 0 \\
b-a & 0 & a-b & 0 \\
b-a & 0 & 0 & a-b
\end{vmatrix}$
1列目に全ての列を足すと
$\begin{vmatrix}
a+3b & b & b & b \\
a-b & a-b & 0 & 0 \\
a-b & 0 & a-b & 0 \\
a-b & 0 & 0 & a-b
\end{vmatrix}$
3. 最終的な答え
求める行列式の値は であるので、3番が正解です。