ベクトル $\vec{a}$ の絶対値 $|\vec{a}| = 3$、ベクトル $\vec{b}$ の絶対値 $|\vec{b}| = 2$、ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の内積 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 5$ のとき、$(2\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b})$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a}$ の絶対値 $|\vec{a}| = 3$、ベクトル $\vec{b}$ の絶対値 $|\vec{b}| = 2$、ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の内積 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 5$ のとき、$(2\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b})$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた内積を分配法則を用いて展開します。

$(2\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 2\vec{a} \cdot \vec{a} + 2\vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b}$

内積の性質 $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$ および $\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2$ を用いると、

$2|\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{b} - |\vec{b}|^2$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$なので、

$2|\vec{a}|^2 + \vec{a} \cdot \vec{b} - |\vec{b}|^2$

ここで、与えられた値を代入します。

$|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 5$

$2(3)^2 + 5 - (2)^2 = 2(9) + 5 - 4 = 18 + 5 - 4 = 19$

3. 最終的な答え

19