与えられた数列 $a_n$ の一般項を求める問題です。数列は2つあります。 (1) 1, 2, 6, 15, 31, 56, ... (2) 1, -2, 7, -20, 61, -182, ...

1. 問題の内容

与えられた数列 $a_n$ の一般項を求める問題です。数列は2つあります。

(1) 1, 2, 6, 15, 31, 56, ...

(2) 1, -2, 7, -20, 61, -182, ...

2. 解き方の手順

(1) の数列について考えます。階差数列を求めます。

階差数列は 1, 4, 9, 16, 25, ... となり、これは $n^2$ となります。

よって、数列 $a_n$ の一般項は、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} k^2$ となります。

$a_1 = 1$ なので、

$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} k^2 = 1 + \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} = \frac{6 + (n-1)n(2n-1)}{6} = \frac{6 + (n-1)(2n^2 - n)}{6} = \frac{6 + 2n^3 - 3n^2 + n}{6} = \frac{2n^3 - 3n^2 + n + 6}{6}$

したがって、$a_n = \frac{2n^3 - 3n^2 + n + 6}{6}$

(2) の数列について考えます。階差数列を求めます。

階差数列は -3, 9, -27, 81, -243, ... となり、これは $-3^n$ となります。

よって、$b_n = (-3)^{n}$

数列 $a_n$ の一般項は $a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (-3)^k$ となります。

$a_1 = 1$ なので、

$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (-3)^k = 1 + \frac{-3(1 - (-3)^{n-1})}{1 - (-3)} = 1 + \frac{-3 + 3^n}{4} = \frac{4 - 3 + 3^n}{4} = \frac{1 + 3^n}{4}$

したがって、$a_n = \frac{3^n + 1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{2n^3 - 3n^2 + n + 6}{6}$

(2) $a_n = \frac{3^n + 1}{4}$