実数 $a$ を係数とする二次方程式 $x^2 - 2(2a-1)x + 10a^2 - 13a - 5 = 0$ が実数解を持つような $a$ の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

実数 $a$ を係数とする二次方程式 $x^2 - 2(2a-1)x + 10a^2 - 13a - 5 = 0$ が実数解を持つような $a$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

二次方程式が実数解を持つための条件は、判別式 $D$ が $D \geq 0$ を満たすことです。

与えられた二次方程式の判別式 $D$ は、

$$D = \{ -2(2a-1) \}^2 - 4(1)(10a^2 - 13a - 5)$$

$$D = 4(4a^2 - 4a + 1) - 4(10a^2 - 13a - 5)$$

$$D = 16a^2 - 16a + 4 - 40a^2 + 52a + 20$$

$$D = -24a^2 + 36a + 24$$

二次方程式が実数解を持つためには、$D \geq 0$ でなければならないので、

$$-24a^2 + 36a + 24 \geq 0$$

両辺を $-12$ で割ると、

$$2a^2 - 3a - 2 \leq 0$$

因数分解すると、

$$(2a+1)(a-2) \leq 0$$

したがって、$a$ の範囲は $-\frac{1}{2} \leq a \leq 2$ です。

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2} \leq a \leq 2$