多項式 $P(x)$ が与えられ、括弧内の一式が $P(x)$ の因数であることを示し、$P(x)$ を因数分解せよ。 (1) $P(x) = 2x^2 - x - 1$ [$x - 1$] (2) $P(x) = x^3 + x^2 - x + 2$ [$x + 2$]

1. 問題の内容

多項式 $P(x)$ が与えられ、括弧内の一式が $P(x)$ の因数であることを示し、$P(x)$ を因数分解せよ。

(1) $P(x) = 2x^2 - x - 1$ [$x - 1$]

(2) $P(x) = x^3 + x^2 - x + 2$ [$x + 2$]

2. 解き方の手順

(1) $P(x) = 2x^2 - x - 1$ について、$x - 1$ が因数であることを示す。$P(1)$ を計算する。

$P(1) = 2(1)^2 - 1 - 1 = 2 - 1 - 1 = 0$

$P(1) = 0$ なので、$x - 1$ は $P(x)$ の因数である。

$P(x)$ を $x - 1$ で割る（または因数分解する）。

$2x^2 - x - 1 = (x - 1)(2x + 1)$

(2) $P(x) = x^3 + x^2 - x + 2$ について、$x + 2$ が因数であることを示す。$P(-2)$ を計算する。

$P(-2) = (-2)^3 + (-2)^2 - (-2) + 2 = -8 + 4 + 2 + 2 = 0$

$P(-2) = 0$ なので、$x + 2$ は $P(x)$ の因数である。

$P(x)$ を $x + 2$ で割る。

$x^3 + x^2 - x + 2 = (x + 2)(x^2 - x + 1)$

3. 最終的な答え

(1) $P(x) = (x - 1)(2x + 1)$

(2) $P(x) = (x + 2)(x^2 - x + 1)$