与えられた3つの2重根号の式を簡略化する問題です。具体的には、以下の3つの式を簡略化します。 * $\sqrt{5 + \sqrt{24}}$ * $\sqrt{11 + 4\sqrt{6}}$ * $\sqrt{12 - 8\sqrt{2}}$

1. 問題の内容

与えられた3つの2重根号の式を簡略化する問題です。具体的には、以下の3つの式を簡略化します。

* $\sqrt{5 + \sqrt{24}}$

* $\sqrt{11 + 4\sqrt{6}}$

* $\sqrt{12 - 8\sqrt{2}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{5 + \sqrt{24}}$ の簡略化:

まず、$\sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2\sqrt{6}$ なので、

$\sqrt{5 + \sqrt{24}} = \sqrt{5 + 2\sqrt{6}}$ と書き換えられます。

次に、$5 = 2 + 3$ かつ $6 = 2 \times 3$ であることに注目すると、

$\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{2 + 3 + 2\sqrt{2 \times 3}} = \sqrt{(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2} = \sqrt{2} + \sqrt{3}$

となります。

(2) $\sqrt{11 + 4\sqrt{6}}$ の簡略化:

まず、$4\sqrt{6} = 2 \times 2\sqrt{6} = 2\sqrt{24}$ なので、

$\sqrt{11 + 4\sqrt{6}} = \sqrt{11 + 2\sqrt{24}}$ と書き換えられます。

次に、$11 = 8 + 3$ かつ $24 = 8 \times 3$ であることに注目すると、

$\sqrt{11 + 2\sqrt{24}} = \sqrt{8 + 3 + 2\sqrt{8 \times 3}} = \sqrt{(\sqrt{8} + \sqrt{3})^2} = \sqrt{8} + \sqrt{3} = 2\sqrt{2} + \sqrt{3}$

となります。

(3) $\sqrt{12 - 8\sqrt{2}}$ の簡略化:

まず、$8\sqrt{2} = 2 \times 4\sqrt{2} = 2\sqrt{16 \times 2} = 2\sqrt{32}$ なので、

$\sqrt{12 - 8\sqrt{2}} = \sqrt{12 - 2\sqrt{32}}$ と書き換えられます。

次に、$12 = 8 + 4$ かつ $32 = 8 \times 4$ であることに注目すると、

$\sqrt{12 - 2\sqrt{32}} = \sqrt{8 + 4 - 2\sqrt{8 \times 4}} = \sqrt{(\sqrt{8} - \sqrt{4})^2} = |\sqrt{8} - \sqrt{4}| = \sqrt{8} - \sqrt{4} = 2\sqrt{2} - 2$

となります。

3. 最終的な答え

* $\sqrt{5 + \sqrt{24}} = \sqrt{2} + \sqrt{3}$

* $\sqrt{11 + 4\sqrt{6}} = 2\sqrt{2} + \sqrt{3}$

* $\sqrt{12 - 8\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} - 2$