初項 $a_1 = -2$ であり、漸化式 $a_{n+1} = 4a_n + 9$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

1. 問題の内容

初項 $a_1 = -2$ であり、漸化式 $a_{n+1} = 4a_n + 9$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた漸化式を解くために、まず特性方程式を考えます。

特性方程式を $x = 4x + 9$ とおき、これを解きます。

$x = 4x + 9$ を整理すると、$-3x = 9$ となり、$x = -3$ が得られます。

次に、漸化式を変形します。

$a_{n+1} = 4a_n + 9$ の両辺から $-3$ を引くと、

$a_{n+1} - (-3) = 4a_n + 9 - (-3)$

$a_{n+1} + 3 = 4a_n + 12$

$a_{n+1} + 3 = 4(a_n + 3)$

ここで、$b_n = a_n + 3$ とおくと、$b_{n+1} = 4b_n$ となります。

これは、数列 $\{b_n\}$ が公比 4 の等比数列であることを示しています。

初項 $b_1$ は、$b_1 = a_1 + 3 = -2 + 3 = 1$ です。

したがって、$b_n = b_1 \cdot 4^{n-1} = 1 \cdot 4^{n-1} = 4^{n-1}$ となります。

最後に、$b_n = a_n + 3$ より、$a_n = b_n - 3$ なので、

$a_n = 4^{n-1} - 3$ が数列 $\{a_n\}$ の一般項となります。

3. 最終的な答え

$a_n = 4^{n-1} - 3$