$(x+y-3z)^8$ の展開式における $x^3y^3z^2$ の項の係数を求めよ。

1. 問題の内容

$(x+y-3z)^8$ の展開式における $x^3y^3z^2$ の項の係数を求めよ。

2. 解き方の手順

多項定理を用いる。$(x+y-3z)^8$ の展開における一般項は、

$$\frac{8!}{p!q!r!}x^py^q(-3z)^r$$

ここで、$p+q+r = 8$である。$x^3y^3z^2$の項の係数を求めるので、$p=3$, $q=3$, $r=2$となる。

このとき、

$$\frac{8!}{3!3!2!}x^3y^3(-3z)^2 = \frac{8!}{3!3!2!}x^3y^3(9z^2)$$

係数は、

$$\frac{8!}{3!3!2!} \cdot 9$$

となる。

$$\frac{8!}{3!3!2!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1} = 8 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 2 = 560$$

したがって、求める係数は

$$560 \cdot 9 = 5040$$

3. 最終的な答え

5040