放物線 $y = x^2 - 2x + 4$ を、$x$ 軸方向に $-3$、$y$ 軸方向に $-8$ だけ平行移動した放物線をグラフとする2次関数を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 2x + 4$ を、$x$ 軸方向に $-3$、$y$ 軸方向に $-8$ だけ平行移動した放物線をグラフとする2次関数を求める。

2. 解き方の手順

平行移動の公式を利用する。放物線 $y = f(x)$ を $x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動すると、新しい放物線の方程式は $y - q = f(x - p)$ となる。

この問題では、$f(x) = x^2 - 2x + 4$、$p = -3$、$q = -8$ である。したがって、新しい放物線の方程式は次のようになる。

$y - (-8) = (x - (-3))^2 - 2(x - (-3)) + 4$

これを整理する。

$y + 8 = (x + 3)^2 - 2(x + 3) + 4$

$y + 8 = x^2 + 6x + 9 - 2x - 6 + 4$

$y + 8 = x^2 + 4x + 7$

$y = x^2 + 4x + 7 - 8$

$y = x^2 + 4x - 1$

3. 最終的な答え

$y = x^2 + 4x - 1$