与えられた2つの3次方程式を解く問題です。 (1) $x^3 + 8 = 0$ (2) $x^3 - 125 = 0$

1. 問題の内容

与えられた2つの3次方程式を解く問題です。

(1) $x^3 + 8 = 0$

(2) $x^3 - 125 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^3 + 8 = 0$ を解きます。

$x^3 + 2^3 = 0$ と変形できます。

和の3乗の公式 $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ を利用して、左辺を因数分解します。

$(x+2)(x^2 - 2x + 4) = 0$

したがって、$x+2 = 0$ または $x^2 - 2x + 4 = 0$ となります。

$x+2 = 0$ より、$x = -2$ が得られます。

$x^2 - 2x + 4 = 0$ は二次方程式なので、解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を用いて解きます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}i}{2} = 1 \pm \sqrt{3}i$

(2) $x^3 - 125 = 0$ を解きます。

$x^3 - 5^3 = 0$ と変形できます。

差の3乗の公式 $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ を利用して、左辺を因数分解します。

$(x-5)(x^2 + 5x + 25) = 0$

したがって、$x-5 = 0$ または $x^2 + 5x + 25 = 0$ となります。

$x-5 = 0$ より、$x = 5$ が得られます。

$x^2 + 5x + 25 = 0$ は二次方程式なので、解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を用いて解きます。

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(1)(25)}}{2(1)} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{-75}}{2} = \frac{-5 \pm 5\sqrt{3}i}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x = -2, 1 \pm \sqrt{3}i$

(2) $x = 5, \frac{-5 \pm 5\sqrt{3}i}{2}$