$k$ を定数として、3次方程式 $x^3 - \frac{3}{2}x^2 - 6x - k = 0$ について、以下の問いに答えます。 (1) この方程式が異なる3つの実数解を持つような $k$ の値の範囲を求めます。 (2) $k$ が (1) で求めた範囲にあるとき、方程式の3つの解を $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ ($\alpha < \beta < \gamma$) とします。 (a) $k$ が (1) で求めた範囲を動くとき、$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ の取りうる範囲をそれぞれ求めます。 (b) $k$ が (1) で求めた範囲を動くとき、$\alpha$ と $\gamma$ の積 $\alpha \gamma$ が最小となる $k$ の値と、$\alpha \gamma$ の最小値を求めます。

1. 問題の内容

$k$ を定数として、3次方程式 $x^3 - \frac{3}{2}x^2 - 6x - k = 0$ について、以下の問いに答えます。

(1) この方程式が異なる3つの実数解を持つような $k$ の値の範囲を求めます。

(2) $k$ が (1) で求めた範囲にあるとき、方程式の3つの解を $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ ($\alpha < \beta < \gamma$) とします。

(a) $k$ が (1) で求めた範囲を動くとき、$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ の取りうる範囲をそれぞれ求めます。

(b) $k$ が (1) で求めた範囲を動くとき、$\alpha$ と $\gamma$ の積 $\alpha \gamma$ が最小となる $k$ の値と、$\alpha \gamma$ の最小値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^3 - \frac{3}{2}x^2 - 6x$ とおくと、方程式は $f(x) = k$ となります。

$f'(x) = 3x^2 - 3x - 6 = 3(x^2 - x - 2) = 3(x-2)(x+1)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = -1, 2$ のときです。

$f(x)$ の増減表は以下のようになります。

x | ... | -1 | ... | 2 | ...

------- | -------- | -------- | -------- | -------- | --------

f'(x) | + | 0 | - | 0 | +

f(x) | 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加

$f(-1) = (-1)^3 - \frac{3}{2}(-1)^2 - 6(-1) = -1 - \frac{3}{2} + 6 = \frac{-2 - 3 + 12}{2} = \frac{7}{2}$

$f(2) = (2)^3 - \frac{3}{2}(2)^2 - 6(2) = 8 - 6 - 12 = -10$

$f(x) = k$ が異なる3つの実数解を持つためには、極大値と極小値の間に $k$ が存在する必要があります。

したがって、$-10 < k < \frac{7}{2}$

(2)

(a) $k$ が $-10 < k < \frac{7}{2}$ の範囲を動くとき、$\alpha < -1 < 2 < \gamma$ であり、$\alpha$, $\gamma$ は $f(x) = k$ の解です。

$k$ が $-10$ に近づくと、$\alpha$ は $-\infty$ に近づき、$\gamma$ は $2$ に近づきます。

$k$ が $\frac{7}{2}$ に近づくと、$\alpha$ は $-1$ に近づき、$\gamma$ は $+\infty$ に近づきます。

また、$f(x) = x^3 - \frac{3}{2}x^2 - 6x$ は3次関数なので、$-\infty$ から $+\infty$ までの全ての実数値を取り得ます。

したがって、$\alpha$ の範囲は $-\infty < \alpha < -1$, $\gamma$ の範囲は $2 < \gamma < +\infty$ です。

$\beta$ の範囲は $-1<\beta<2$ です。

(b) $\alpha, \beta, \gamma$ は $x^3 - \frac{3}{2}x^2 - 6x - k = 0$ の解なので、解と係数の関係より

$\alpha + \beta + \gamma = \frac{3}{2}$

$\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = -6$

$\alpha \beta \gamma = k$

ここで、$\alpha + \gamma = \frac{3}{2} - \beta$

$\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = \beta (\alpha + \gamma) + \alpha \gamma = -6$

$\alpha \gamma = -6 - \beta (\frac{3}{2} - \beta) = -6 - \frac{3}{2}\beta + \beta^2 = \beta^2 - \frac{3}{2}\beta - 6$

$\alpha \gamma = (\beta - \frac{3}{4})^2 - 6 - (\frac{3}{4})^2 = (\beta - \frac{3}{4})^2 - 6 - \frac{9}{16} = (\beta - \frac{3}{4})^2 - \frac{96+9}{16} = (\beta - \frac{3}{4})^2 - \frac{105}{16}$

$\alpha \gamma$ が最小となるのは、$\beta = \frac{3}{4}$ のときです。

このとき、$\alpha \gamma$ の最小値は $-\frac{105}{16}$ です。

$\alpha \gamma = k/\beta$ より、 $k = \alpha \beta \gamma$ であるから、$k = (-\frac{105}{16}) \times (\frac{3}{4}) = -\frac{315}{64}$

3. 最終的な答え

(1) $-10 < k < \frac{7}{2}$

(2) (a) $-\infty < \alpha < -1$, $-1<\beta<2$, $2 < \gamma < \infty$

(b) $k = -\frac{315}{64}$, $\alpha \gamma = -\frac{105}{16}$