与えられた行列が直交行列となるように、$a, b, c$の値を定める問題です。直交行列とは、転置行列が逆行列と一致する行列のことです。つまり、$A^T A = I$ (ここで$A^T$は$A$の転置行列、$I$は単位行列)が成り立つ行列です。 (1) の行列 $A = \begin{bmatrix} a & -b & -c \\ a & b & -c \\ a & 0 & 2c \end{bmatrix}$ (2) の行列 $A = \begin{bmatrix} a & 2a & a \\ b & 0 & -b \\ c & -c & c \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列が直交行列となるように、$a, b, c$の値を定める問題です。直交行列とは、転置行列が逆行列と一致する行列のことです。つまり、$A^T A = I$ (ここで$A^T$は$A$の転置行列、$I$は単位行列)が成り立つ行列です。

(1) の行列

$A = \begin{bmatrix} a & -b & -c \\ a & b & -c \\ a & 0 & 2c \end{bmatrix}$

(2) の行列

$A = \begin{bmatrix} a & 2a & a \\ b & 0 & -b \\ c & -c & c \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) の行列について：

行列$A$の列ベクトルをそれぞれ$\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}$とすると、直交行列であるためには、以下の条件を満たす必要があります。

* $\vec{v_i} \cdot \vec{v_i} = 1$ (各列ベクトルのノルムが1)

* $\vec{v_i} \cdot \vec{v_j} = 0$ (異なる列ベクトル同士の内積が0)

各列ベクトルのノルムの条件より

$a^2 + a^2 + a^2 = 1 \Rightarrow 3a^2 = 1 \Rightarrow a = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

$(-b)^2 + b^2 + 0^2 = 1 \Rightarrow 2b^2 = 1 \Rightarrow b = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

$(-c)^2 + (-c)^2 + (2c)^2 = 1 \Rightarrow 6c^2 = 1 \Rightarrow c = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$

異なる列ベクトルの内積の条件より

$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = a(-b) + a(b) + a(0) = 0$ (これは常に成り立つ)

$\vec{v_1} \cdot \vec{v_3} = a(-c) + a(-c) + a(2c) = 0$ (これは常に成り立つ)

$\vec{v_2} \cdot \vec{v_3} = (-b)(-c) + b(-c) + 0(2c) = 0$ (これは常に成り立つ)

したがって、$a = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}, b = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}, c = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$が解となります。

(2) の行列について：

行列$A$の列ベクトルをそれぞれ$\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}$とすると、直交行列であるためには、以下の条件を満たす必要があります。

* $\vec{v_i} \cdot \vec{v_i} = 1$ (各列ベクトルのノルムが1)

* $\vec{v_i} \cdot \vec{v_j} = 0$ (異なる列ベクトル同士の内積が0)

各列ベクトルのノルムの条件より

$a^2 + b^2 + c^2 = 1$

$(2a)^2 + 0^2 + (-c)^2 = 1 \Rightarrow 4a^2 + c^2 = 1$

$a^2 + (-b)^2 + c^2 = 1 \Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 = 1$

異なる列ベクトルの内積の条件より

$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = a(2a) + b(0) + c(-c) = 0 \Rightarrow 2a^2 - c^2 = 0 \Rightarrow c^2 = 2a^2$

$\vec{v_1} \cdot \vec{v_3} = a(a) + b(-b) + c(c) = 0 \Rightarrow a^2 - b^2 + c^2 = 0$

$\vec{v_2} \cdot \vec{v_3} = 2a(a) + 0(-b) + (-c)(c) = 0 \Rightarrow 2a^2 - c^2 = 0 \Rightarrow c^2 = 2a^2$

$c^2 = 2a^2$を$4a^2 + c^2 = 1$に代入すると、$4a^2 + 2a^2 = 1 \Rightarrow 6a^2 = 1 \Rightarrow a^2 = \frac{1}{6} \Rightarrow a = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$

$c^2 = 2a^2 = \frac{1}{3} \Rightarrow c = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

$a^2 - b^2 + c^2 = 0 \Rightarrow b^2 = a^2 + c^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \Rightarrow b = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

したがって、$a = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}, b = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}, c = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$が解となります。

3. 最終的な答え

(1)

$a = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}, b = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}, c = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$

(2)

$a = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}, b = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}, c = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$