与えられたベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}$, $\vec{c} = \begin{pmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix}$ が一次独立か一次従属かを調べる。もし一次従属ならば、$\vec{a}$ を $\vec{b}$ と $\vec{c}$ の一次結合で表す。

1. 問題の内容

与えられたベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}$, $\vec{c} = \begin{pmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix}$ が一次独立か一次従属かを調べる。もし一次従属ならば、$\vec{a}$ を $\vec{b}$ と $\vec{c}$ の一次結合で表す。

2. 解き方の手順

ベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ が一次従属であるかどうかを判定するために、スカラー $x$, $y$ を用いて以下の式が成り立つかどうかを調べる。

$x\vec{b} + y\vec{c} = \vec{a}$

これを成分ごとに書き出すと、以下の連立一次方程式を得る。

$4x + 7y = 2$

$5x + 8y = 4$

$6x + 9y = 6$

3番目の式を3で割ると、$2x + 3y = 2$ となる。

1番目の式 $4x + 7y = 2$ と 2番目の式 $5x + 8y = 4$ を解くことを試みる。

1番目の式を5倍、2番目の式を4倍すると、

$20x + 35y = 10$

$20x + 32y = 16$

上の式から下の式を引くと、

$3y = -6$

したがって、$y = -2$

$4x + 7(-2) = 2$

$4x - 14 = 2$

$4x = 16$

$x = 4$

ここで、$x = 4$, $y = -2$ が3番目の式 $6x + 9y = 6$ も満たすかどうかを確認する。

$6(4) + 9(-2) = 24 - 18 = 6$

確かに満たす。

したがって、$\vec{a} = 4\vec{b} - 2\vec{c}$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

ベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ は一次従属であり、$\vec{a}$ は $\vec{b}$ と $\vec{c}$ の一次結合で $\vec{a} = 4\vec{b} - 2\vec{c}$ と表せる。