2つの不等式を解く問題です。 (1) $x-4 < 3x$ (2) $|x-1| + 2|x-3| \le 11$

1. 問題の内容

2つの不等式を解く問題です。

(1) $x-4 < 3x$

(2) $|x-1| + 2|x-3| \le 11$

2. 解き方の手順

(1)

$x-4 < 3x$

両辺から $x$ を引きます。

$-4 < 2x$

両辺を 2 で割ります。

$-2 < x$

よって、$x > -2$

(2)

$|x-1| + 2|x-3| \le 11$

絶対値記号の中身が 0 となる $x$ の値は、 $x=1$ と $x=3$ です。

これにより、数直線は $x < 1$, $1 \le x < 3$, $3 \le x$ の３つの範囲に分けられます。

(i) $x < 1$ のとき、 $x-1<0$ かつ $x-3<0$ なので、 $|x-1|=-(x-1)$ かつ $|x-3|=-(x-3)$ となります。

したがって、

$-(x-1) + 2(-(x-3)) \le 11$

$-x+1 -2x+6 \le 11$

$-3x + 7 \le 11$

$-3x \le 4$

$3x \ge -4$

$x \ge -\frac{4}{3}$

$x < 1$ と $x \ge -\frac{4}{3}$ を満たす $x$ の範囲は、$-\frac{4}{3} \le x < 1$ です。

(ii) $1 \le x < 3$ のとき、$x-1 \ge 0$ かつ $x-3 < 0$ なので、$|x-1| = x-1$ かつ $|x-3| = -(x-3)$ となります。

したがって、

$(x-1) + 2(-(x-3)) \le 11$

$x-1 -2x+6 \le 11$

$-x + 5 \le 11$

$-x \le 6$

$x \ge -6$

$1 \le x < 3$ と $x \ge -6$ を満たす $x$ の範囲は、$1 \le x < 3$ です。

(iii) $3 \le x$ のとき、$x-1 > 0$ かつ $x-3 \ge 0$ なので、$|x-1|=x-1$ かつ $|x-3|=x-3$ となります。

したがって、

$(x-1) + 2(x-3) \le 11$

$x-1 + 2x-6 \le 11$

$3x - 7 \le 11$

$3x \le 18$

$x \le 6$

$3 \le x$ と $x \le 6$ を満たす $x$ の範囲は、$3 \le x \le 6$ です。

(i), (ii), (iii) より、$-\frac{4}{3} \le x < 1$, $1 \le x < 3$, $3 \le x \le 6$ を合わせた範囲が求める解となります。

したがって、$-\frac{4}{3} \le x \le 6$ です。

3. 最終的な答え

(1) $x > -2$

(2) $-\frac{4}{3} \le x \le 6$