与えられた方程式 $x^3 + 8 = 0$ を解き、$x$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $x^3 + 8 = 0$ を解き、$x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を以下のように変形します。

$x^3 + 8 = 0$

$x^3 = -8$

$-8$ を $-2^3$ と書き換えます。

$x^3 = (-2)^3$

次に、両辺の3乗根を考えます。実数解は $x = -2$ です。しかし、$x^3 = -8$ は3次方程式なので、複素数解も含めて3つの解を持ちます。

複素数解を求めるために、$x^3 + 8 = 0$ を因数分解します。

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ の公式を利用します。

$x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4) = 0$

したがって、$x + 2 = 0$ または $x^2 - 2x + 4 = 0$ が成り立ちます。

$x + 2 = 0$ から、$x = -2$ が得られます。

$x^2 - 2x + 4 = 0$ を解くために、二次方程式の解の公式を用います。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)}$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2}$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{-12}}{2}$

$x = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}i}{2}$

$x = 1 \pm \sqrt{3}i$

したがって、解は $x = -2, 1 + \sqrt{3}i, 1 - \sqrt{3}i$ です。

3. 最終的な答え

$x = -2, 1 + \sqrt{3}i, 1 - \sqrt{3}i$