画像にはいくつかの問題が含まれていますが、ここでは2番の問題を解きます。 実数 $x, y$ について、以下の3つの条件について、それぞれ空欄に「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要十分条件である」、「必要条件でも十分条件でもない」のうち、どれが当てはまるか答える問題です。 (1) $\triangle ABC$ が二等辺三角形であることは、$\triangle ABC$ が正三角形であるための□。 (2) $x=y$ は、$x^2+y^2=2xy$ であるための□。 (3) $x+y>2$ は、「$x>1$ または $y>1$」であるための□。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

画像にはいくつかの問題が含まれていますが、ここでは2番の問題を解きます。

実数 $x, y$ について、以下の3つの条件について、それぞれ空欄に「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要十分条件である」、「必要条件でも十分条件でもない」のうち、どれが当てはまるか答える問題です。

(1) $\triangle ABC$ が二等辺三角形であることは、$\triangle ABC$ が正三角形であるための□。

(2) $x=y$ は、$x^2+y^2=2xy$ であるための□。

(3) $x+y>2$ は、「$x>1$ または $y>1$」であるための□。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABC$ が二等辺三角形であることは、$\triangle ABC$ が正三角形であるための□。

　- $\triangle ABC$ が正三角形ならば、$\triangle ABC$ は二等辺三角形です。したがって、正三角形であることは二等辺三角形であるための十分条件です。

　- $\triangle ABC$ が二等辺三角形であっても、正三角形であるとは限りません（例えば、2辺が等しいが3辺が等しくない場合）。したがって、二等辺三角形であることは正三角形であるための必要条件ではありません。

　- よって、これは十分条件であるが必要条件ではない。

(2) $x=y$ は、$x^2+y^2=2xy$ であるための□。

　- $x=y$ ならば、$x^2+y^2 = x^2 + x^2 = 2x^2$ かつ $2xy = 2x^2$ となり、$x^2+y^2 = 2xy$ が成り立ちます。

　- $x^2+y^2=2xy$ ならば、$x^2 - 2xy + y^2 = 0$ と変形でき、$(x-y)^2 = 0$ となります。したがって、$x-y=0$ より、$x=y$ となります。

　- よって、これは必要十分条件である。

(3) $x+y>2$ は、「$x>1$ または $y>1$」であるための□。

　- $x>1$ または $y>1$ ならば、$x+y>2$ であるとは限りません。例えば、$x=0, y=3$ とすると、$x+y = 3 > 2$ ですが、$x>1$ は成り立ちません。しかし $y>1$は成り立ちます。また、$x=1.5, y=0.6$ とすると、$x+y=2.1>2$ ですが、$x>1$ かつ $y>1$です。

　- $x+y > 2$ ならば、$x>1$ または $y>1$ であるとは限りません。例えば、$x=0.5, y=1.6$ とすると、$x+y=2.1>2$ ですが、$x>1$ は成り立ちません。しかし $y>1$は成り立ちます。

　- $x+y > 2$ であっても、$x \le 1$ かつ $y \le 1$ となる場合があります。例えば、$x=1, y=1.1$ とすると、$x+y=2.1>2$ ですが、$x\leq1$ かつ $y>1$となります。しかし$x=0.5,y=1.6$の時、$x<1$かつ$y>1$です。

　- $x+y > 2$ であっても、$x \le 1$ かつ $y \le 1$ となる場合があります。例えば、$x=0.5, y=1.6$の時、$x<1$かつ$y>1$です。

　- $x+y > 2$ であれば、少なくとも $x$ または $y$ の一方が 1 より大きくなければなりません。 $x$ と $y$ の両方が 1 以下であれば、 $x+y \le 2$ となるからです。したがって、$x+y > 2$ ならば、$x>1$ または $y>1$ は成り立ちます。

- よって、これは必要条件である。

- $x>1$ または $y>1$の時、$x+y>2$が成り立つとは限りません。$x=2,y=0$の時、$x>1$または$y>1$を満たしますが$x+y=2$となります。そのため、$x+y>2$は成り立ちません。

3. 最終的な答え

(1) 十分条件であるが必要条件ではない

(2) 必要十分条件である

(3) 必要条件である