与えられた2つの2次関数について、最大値または最小値を求める問題です。 (a) $y = 3x^2 + 12x - 6$ (b) $y = -2x^2 + 3x - 5$

1. 問題の内容

与えられた2つの2次関数について、最大値または最小値を求める問題です。

(a) $y = 3x^2 + 12x - 6$

(b) $y = -2x^2 + 3x - 5$

2. 解き方の手順

(a) $y = 3x^2 + 12x - 6$ について

まず平方完成を行います。

$y = 3(x^2 + 4x) - 6$

$y = 3(x^2 + 4x + 4 - 4) - 6$

$y = 3((x+2)^2 - 4) - 6$

$y = 3(x+2)^2 - 12 - 6$

$y = 3(x+2)^2 - 18$

この関数は下に凸な放物線であり、$x = -2$ のとき最小値 $-18$ を取ります。最大値はありません。

(b) $y = -2x^2 + 3x - 5$ について

まず平方完成を行います。

$y = -2(x^2 - \frac{3}{2}x) - 5$

$y = -2(x^2 - \frac{3}{2}x + (\frac{3}{4})^2 - (\frac{3}{4})^2) - 5$

$y = -2((x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{16}) - 5$

$y = -2(x - \frac{3}{4})^2 + \frac{9}{8} - 5$

$y = -2(x - \frac{3}{4})^2 + \frac{9}{8} - \frac{40}{8}$

$y = -2(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{31}{8}$

この関数は上に凸な放物線であり、$x = \frac{3}{4}$ のとき最大値 $-\frac{31}{8}$ を取ります。最小値はありません。

3. 最終的な答え

(a) 最小値：$-18$ (x = -2のとき), 最大値：なし

(b) 最大値：$-\frac{31}{8}$ (x = 3/4のとき), 最小値：なし