(3) (a) 関数 $y = -x^2 + 6x + c$ ($1 \le x \le 4$) の最小値が -2 であるように、定数 $c$ の値を定め、そのときの最大値を求める。 (3) (b) 関数 $y = -2x^2 + 8x + k$ ($1 \le x \le 4$) の最大値が 4 であるように、定数 $k$ の値を定め、このときの最小値を求める。

1. 問題の内容

(3) (a) 関数 $y = -x^2 + 6x + c$ ($1 \le x \le 4$) の最小値が -2 であるように、定数 $c$ の値を定め、そのときの最大値を求める。

(3) (b) 関数 $y = -2x^2 + 8x + k$ ($1 \le x \le 4$) の最大値が 4 であるように、定数 $k$ の値を定め、このときの最小値を求める。

2. 解き方の手順

(3) (a)

まず、$y = -x^2 + 6x + c$ を平方完成させる。

$y = -(x^2 - 6x) + c$

$y = -(x^2 - 6x + 9 - 9) + c$

$y = -(x - 3)^2 + 9 + c$

この関数のグラフは上に凸の放物線であり、軸は $x = 3$ である。定義域 $1 \le x \le 4$ において、軸 $x = 3$ は定義域に含まれる。

$x = 1$ のとき $y = -1 + 6 + c = 5 + c$

$x = 3$ のとき $y = 9 + c$

$x = 4$ のとき $y = -16 + 24 + c = 8 + c$

$x=1$のとき、$y=5+c$

$x=3$のとき、$y=9+c$

$x=4$のとき、$y=8+c$

頂点は$(3, 9+c)$である。

最小値が -2 であることから、$x = 1$ のとき $y = -2$ であるか、$x = 4$ のとき $y = -2$ である。

$5 + c = -2$ ならば $c = -7$

$8 + c = -2$ ならば $c = -10$

軸は $x=3$ なので、頂点は $x=3$ である。$1 \le x \le 4$ の範囲で、$x = 3$ から最も遠いのは $x = 1$。よって、$x = 1$ で最小値をとる。

$x = 1$ のとき $y = -1 + 6 + c = 5 + c = -2$ より $c = -7$

このとき、$y = -(x - 3)^2 + 9 - 7 = -(x - 3)^2 + 2$

頂点の $y$ 座標は 2 なので、最大値は 2 である。

(3) (b)

$y = -2x^2 + 8x + k$ を平方完成させる。

$y = -2(x^2 - 4x) + k$

$y = -2(x^2 - 4x + 4 - 4) + k$

$y = -2(x - 2)^2 + 8 + k$

この関数のグラフは上に凸の放物線であり、軸は $x = 2$ である。定義域 $1 \le x \le 4$ において、軸 $x = 2$ は定義域に含まれる。

最大値が 4 であることから、頂点の $y$ 座標が 4 となる。

$8 + k = 4$ より $k = -4$

$y = -2(x - 2)^2 + 4$

$x = 1$ のとき $y = -2(1 - 2)^2 + 4 = -2 + 4 = 2$

$x = 4$ のとき $y = -2(4 - 2)^2 + 4 = -2(4) + 4 = -8 + 4 = -4$

よって、最小値は -4 である。

3. 最終的な答え

(3) (a)

$c = -7$, 最大値は 2

(3) (b)

$k = -4$, 最小値は -4