(1) 座標が(4, 3)である点Pに対し、動径OPとx軸の正の向きとのなす角を$\alpha$とするとき、$\cos{\alpha}$と$\sin{\alpha}$の値を求める。 (2) $4\sin{x} + 3\cos{x} = r\sin{(x + \alpha)}$を満たす$r$の値を求める。 (3) 関数$y = 4\sin{x} + 3\cos{x}$の最大値、最小値を求める。

1. 問題の内容

(1) 座標が(4, 3)である点Pに対し、動径OPとx軸の正の向きとのなす角を$\alpha$とするとき、$\cos{\alpha}$と$\sin{\alpha}$の値を求める。

(2) $4\sin{x} + 3\cos{x} = r\sin{(x + \alpha)}$を満たす$r$の値を求める。

(3) 関数$y = 4\sin{x} + 3\cos{x}$の最大値、最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\cos{\alpha}$と$\sin{\alpha}$の値を求める。

点Pの座標が(4, 3)なので、原点OからPまでの距離OPは、三平方の定理より、

$OP = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

したがって、

$\cos{\alpha} = \frac{4}{5}$

$\sin{\alpha} = \frac{3}{5}$

(2) $r$の値を求める。

三角関数の合成を用いる。

$4\sin{x} + 3\cos{x} = r\sin{(x + \alpha)} = r(\sin{x}\cos{\alpha} + \cos{x}\sin{\alpha})$

$= r\cos{\alpha}\sin{x} + r\sin{\alpha}\cos{x}$

係数を比較して、

$r\cos{\alpha} = 4$

$r\sin{\alpha} = 3$

両辺をそれぞれ2乗して足し合わせると、

$(r\cos{\alpha})^2 + (r\sin{\alpha})^2 = 4^2 + 3^2$

$r^2(\cos^2{\alpha} + \sin^2{\alpha}) = 16 + 9$

$r^2 = 25$

$r > 0$より

$r = 5$

(3) 関数$y = 4\sin{x} + 3\cos{x}$の最大値、最小値を求める。

(2)より、$y = 4\sin{x} + 3\cos{x} = 5\sin{(x + \alpha)}$

ここで、$-1 \le \sin{(x + \alpha)} \le 1$なので、

$-5 \le 5\sin{(x + \alpha)} \le 5$

したがって、

最大値は5

最小値は-5

3. 最終的な答え

(1) $\cos{\alpha} = \frac{4}{5}$, $\sin{\alpha} = \frac{3}{5}$

(2) $r = 5$

(3) 最大値: 5, 最小値: -5