x軸と2点$(-3, 0)$, $(1, 0)$で交わり、頂点が直線$y = -2x + 2$上にある2次関数を求める。

1. 問題の内容

x軸と2点$(-3, 0)$, $(1, 0)$で交わり、頂点が直線$y = -2x + 2$上にある2次関数を求める。

2. 解き方の手順

まず、x軸との交点が $(-3, 0)$と$(1, 0)$であることから、求める2次関数は以下の形で表すことができる。

$y = a(x + 3)(x - 1)$

ここで、$a$は定数である。

次に、この関数の頂点が直線 $y = -2x + 2$ 上にあるという条件を利用する。

$y = a(x + 3)(x - 1) = a(x^2 + 2x - 3) = a(x^2 + 2x + 1 - 4) = a((x + 1)^2 - 4) = a(x + 1)^2 - 4a$

よって、頂点の座標は $(-1, -4a)$となる。

この頂点が直線 $y = -2x + 2$ 上にあるので、頂点の座標をこの直線の方程式に代入すると、

$-4a = -2(-1) + 2$

$-4a = 2 + 2$

$-4a = 4$

$a = -1$

したがって、求める2次関数は、

$y = -1(x + 3)(x - 1) = -(x^2 + 2x - 3) = -x^2 - 2x + 3$

3. 最終的な答え

$y = -x^2 - 2x + 3$