与えられた二次関数 $y = 3x^2 + 5x + 4$ について、以下の3つを求める問題です。 (1) 頂点の座標 (2) 軸の方程式 (3) y軸との交点の座標

1. 問題の内容

与えられた二次関数 $y = 3x^2 + 5x + 4$ について、以下の3つを求める問題です。

(1) 頂点の座標

(2) 軸の方程式

(3) y軸との交点の座標

2. 解き方の手順

(1) 頂点の座標を求める。

二次関数を平方完成させます。

$y = 3x^2 + 5x + 4$

$y = 3(x^2 + \frac{5}{3}x) + 4$

$y = 3(x^2 + \frac{5}{3}x + (\frac{5}{6})^2 - (\frac{5}{6})^2) + 4$

$y = 3(x + \frac{5}{6})^2 - 3(\frac{25}{36}) + 4$

$y = 3(x + \frac{5}{6})^2 - \frac{25}{12} + \frac{48}{12}$

$y = 3(x + \frac{5}{6})^2 + \frac{23}{12}$

頂点の座標は $(-\frac{5}{6}, \frac{23}{12})$ です。

(2) 軸の方程式を求める。

平方完成された式 $y = 3(x + \frac{5}{6})^2 + \frac{23}{12}$ から、軸の方程式は $x = -\frac{5}{6}$ であることがわかります。

(3) y軸との交点の座標を求める。

y軸との交点は、$x = 0$ のときの $y$ の値です。

$y = 3(0)^2 + 5(0) + 4$

$y = 4$

したがって、y軸との交点の座標は $(0, 4)$ です。

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標: $(-\frac{5}{6}, \frac{23}{12})$

(2) 軸の方程式: $x = -\frac{5}{6}$

(3) y軸との交点の座標: $(0, 4)$