不等式 $|a| + 3|b| \ge |a + 3b|$ を証明し、等号が成り立つ条件を求める。

1. 問題の内容

不等式 $|a| + 3|b| \ge |a + 3b|$ を証明し、等号が成り立つ条件を求める。

2. 解き方の手順

まず、両辺が非負であることから、2乗したものを比較する。

$(|a| + 3|b|)^2 - |a + 3b|^2$

$= |a|^2 + 6|a||b| + 9|b|^2 - (a + 3b)^2$

$= a^2 + 6|ab| + 9b^2 - (a^2 + 6ab + 9b^2)$

$= 6|ab| - 6ab$

$= 6(|ab| - ab)$

ここで、$|ab| \ge ab$ であるから、

$6(|ab| - ab) \ge 0$

したがって、

$(|a| + 3|b|)^2 \ge |a + 3b|^2$

両辺の平方根をとると、

$|a| + 3|b| \ge |a + 3b|$

これで不等式が証明できた。

等号が成り立つのは、 $|ab| = ab$ のときである。これは、$ab \ge 0$ を意味する。

3. 最終的な答え

不等式 $|a| + 3|b| \ge |a + 3b|$ は証明された。

等号が成り立つのは、$ab \ge 0$ のときである。