行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$、$B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}$、$C = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ k & k+4 \end{pmatrix}$ が与えられている。 (1) $A$ と $B$ が正則かどうかを調べ、正則ならば逆行列を求める。 (2) $C$ が正則とならないような実数 $k$ の値を求める。 (3) $AXB = C$ を満たす行列 $X$ を求める。ただし、$C$ は正則でないとする。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$、$B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}$、$C = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ k & k+4 \end{pmatrix}$ が与えられている。

(1) $A$ と $B$ が正則かどうかを調べ、正則ならば逆行列を求める。

(2) $C$ が正則とならないような実数 $k$ の値を求める。

(3) $AXB = C$ を満たす行列 $X$ を求める。ただし、$C$ は正則でないとする。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A$ の行列式は $\det(A) = 1 \cdot 5 - (-2) \cdot 1 = 5 + 2 = 7$ である。

$\det(A) \neq 0$ なので $A$ は正則である。

$A$ の逆行列は $A^{-1} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5/7 & 2/7 \\ -1/7 & 1/7 \end{pmatrix}$ である。

行列 $B$ の行列式は $\det(B) = 2 \cdot 3 - (-1) \cdot (-5) = 6 - 5 = 1$ である。

$\det(B) \neq 0$ なので $B$ は正則である。

$B$ の逆行列は $B^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$ である。

(2) 行列 $C$ の行列式は $\det(C) = 1 \cdot (k+4) - 3 \cdot k = k + 4 - 3k = 4 - 2k$ である。

$C$ が正則とならないのは $\det(C) = 0$ のときなので $4 - 2k = 0$ より $k = 2$ である。

(3) $AXB = C$ を満たす行列 $X$ を求める。

$A$ と $B$ は正則なので、$X = A^{-1}CB^{-1}$ となる。

$k = 2$ のとき $C = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}$ である。

$X = A^{-1}CB^{-1} = \begin{pmatrix} 5/7 & 2/7 \\ -1/7 & 1/7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 5/7 & 2/7 \\ -1/7 & 1/7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (5+4)/7 & (15+12)/7 \\ (-1+2)/7 & (-3+6)/7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9/7 & 27/7 \\ 1/7 & 3/7 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 9/7 & 27/7 \\ 1/7 & 3/7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (27+135)/7 & (9+54)/7 \\ (3+15)/7 & (1+6)/7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 162/7 & 63/7 \\ 18/7 & 7/7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 162/7 & 9 \\ 18/7 & 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $A$ は正則で $A^{-1} = \begin{pmatrix} 5/7 & 2/7 \\ -1/7 & 1/7 \end{pmatrix}$

$B$ は正則で $B^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$

(2) $k = 2$

(3) $X = \begin{pmatrix} 162/7 & 9 \\ 18/7 & 1 \end{pmatrix}$