与えられた連立一次方程式を拡大係数行列として表現し、行列の基本変形を用いて解を求めます。 連立一次方程式は以下の通りです。 $x - y + 2z = 4$ $x + y + z = 1$ $3x + y + 4z = 6$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を拡大係数行列として表現し、行列の基本変形を用いて解を求めます。

連立一次方程式は以下の通りです。

$x - y + 2z = 4$

$x + y + z = 1$

$3x + y + 4z = 6$

2. 解き方の手順

(1) 拡大係数行列を作成します。

$\begin{bmatrix}

1 & -1 & 2 & 4 \\

1 & 1 & 1 & 1 \\

3 & 1 & 4 & 6

\end{bmatrix}$

(2) 行列の基本変形を用いて、階段行列または簡約階段行列にします。

まず、2行目から1行目を引きます ($R_2 \rightarrow R_2 - R_1$)。

また、3行目から1行目の3倍を引きます ($R_3 \rightarrow R_3 - 3R_1$)。

$\begin{bmatrix}

1 & -1 & 2 & 4 \\

0 & 2 & -1 & -3 \\

0 & 4 & -2 & -6

\end{bmatrix}$

次に、3行目から2行目の2倍を引きます ($R_3 \rightarrow R_3 - 2R_2$)。

$\begin{bmatrix}

1 & -1 & 2 & 4 \\

0 & 2 & -1 & -3 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{bmatrix}$

(3) この行列に対応する連立一次方程式を書き下します。

$x - y + 2z = 4$

$2y - z = -3$

(4) $z = t$ (任意の実数) とおきます。

$2y = z - 3 = t - 3$

$y = \frac{t - 3}{2}$

(5) $x$ を求めます。

$x = y - 2z + 4 = \frac{t - 3}{2} - 2t + 4 = \frac{t - 3 - 4t + 8}{2} = \frac{-3t + 5}{2}$

3. 最終的な答え

連立一次方程式の解は、以下の通りです。

$x = \frac{-3t + 5}{2}$

$y = \frac{t - 3}{2}$

$z = t$

ここで、$t$ は任意の実数です。