与えられた行列の階数を求めます。行列は以下の通りです。 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & -4 & 3 \\ 2 & 2 & -11 & 11 \\ 1 & 0 & -3 & -10 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列の階数を求めます。行列は以下の通りです。

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & -4 & 3 \\

2 & 2 & -11 & 11 \\

1 & 0 & -3 & -10

\end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列の階数を求めるために、行基本変形を用いて行列を簡約化します。

ステップ1：2行目から1行目の2倍を引きます。

$R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1$

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & -4 & 3 \\

0 & -2 & -3 & 5 \\

1 & 0 & -3 & -10

\end{pmatrix}$

ステップ2：3行目から1行目を引きます。

$R_3 \rightarrow R_3 - R_1$

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & -4 & 3 \\

0 & -2 & -3 & 5 \\

0 & -2 & 1 & -13

\end{pmatrix}$

ステップ3：3行目から2行目を引きます。

$R_3 \rightarrow R_3 - R_2$

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & -4 & 3 \\

0 & -2 & -3 & 5 \\

0 & 0 & 4 & -18

\end{pmatrix}$

ステップ4：2行目を-2で割ります。

$R_2 \rightarrow -\frac{1}{2}R_2$

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & -4 & 3 \\

0 & 1 & \frac{3}{2} & -\frac{5}{2} \\

0 & 0 & 4 & -18

\end{pmatrix}$

ステップ5：3行目を4で割ります。

$R_3 \rightarrow \frac{1}{4}R_3$

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & -4 & 3 \\

0 & 1 & \frac{3}{2} & -\frac{5}{2} \\

0 & 0 & 1 & -\frac{9}{2}

\end{pmatrix}$

この行列は階段行列であり、0でない行が3行あるため、行列の階数は3です。

3. 最終的な答え

3