複素数 $\alpha = 1 - i$, $\beta = 3$, $\gamma = 3 + 5i$ が与えられたとき、以下の問題を解く。 (1) $\frac{\beta - \alpha}{\gamma - \alpha}$ の偏角と絶対値を求める。 (2) 複素数平面上に3点 $A(\alpha)$, $B(\beta)$, $C(4+xi)$ があるとき、 (a) 3点 $A$, $B$, $C$ が一直線上にあるような実数 $x$ の値を求める。 (b) 2直線 $AB$, $BC$ が垂直に交わるような実数 $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

複素数 $\alpha = 1 - i$, $\beta = 3$, $\gamma = 3 + 5i$ が与えられたとき、以下の問題を解く。

(1) $\frac{\beta - \alpha}{\gamma - \alpha}$ の偏角と絶対値を求める。

(2) 複素数平面上に3点 $A(\alpha)$, $B(\beta)$, $C(4+xi)$ があるとき、

(a) 3点 $A$, $B$, $C$ が一直線上にあるような実数 $x$ の値を求める。

(b) 2直線 $AB$, $BC$ が垂直に交わるような実数 $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、$\frac{\beta - \alpha}{\gamma - \alpha}$ を計算する。

$\beta - \alpha = 3 - (1 - i) = 2 + i$

$\gamma - \alpha = (3 + 5i) - (1 - i) = 2 + 6i$

$\frac{\beta - \alpha}{\gamma - \alpha} = \frac{2 + i}{2 + 6i} = \frac{(2 + i)(2 - 6i)}{(2 + 6i)(2 - 6i)} = \frac{4 - 12i + 2i - 6i^2}{4 - 36i^2} = \frac{4 - 10i + 6}{4 + 36} = \frac{10 - 10i}{40} = \frac{1 - i}{4} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4}i$

次に、$\frac{\beta - \alpha}{\gamma - \alpha}$ の偏角を求める。

$\arg\left(\frac{\beta - \alpha}{\gamma - \alpha}\right) = \arg\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{4}i\right) = -\frac{\pi}{4} + 2n\pi$

最後に、$\frac{\beta - \alpha}{\gamma - \alpha}$ の絶対値を求める。

$\left|\frac{\beta - \alpha}{\gamma - \alpha}\right| = \left|\frac{1}{4} - \frac{1}{4}i\right| = \sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^2 + \left(-\frac{1}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{2}{16}} = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

(2)

(a) 3点 $A(\alpha)$, $B(\beta)$, $C(4+xi)$ が一直線上にあるとき、$\frac{4+xi-\alpha}{\beta-\alpha}$ が実数となる。

$\frac{4+xi-\alpha}{\beta-\alpha} = \frac{4+xi-(1-i)}{3-(1-i)} = \frac{3+(x+1)i}{2+i} = \frac{(3+(x+1)i)(2-i)}{(2+i)(2-i)} = \frac{6 - 3i + (2x+2)i - (x+1)i^2}{4-i^2} = \frac{6 - 3i + (2x+2)i + (x+1)}{4+1} = \frac{7+x+(2x-1)i}{5}$

$\frac{7+x+(2x-1)i}{5}$が実数なので、$2x-1 = 0$。したがって、$x = \frac{1}{2}$。

(b) 2直線 $AB$, $BC$ が垂直に交わるとき、$\frac{\beta - \alpha}{4+xi - \beta}$ が純虚数となる。

$\frac{\beta - \alpha}{4+xi - \beta} = \frac{3 - (1-i)}{4+xi - 3} = \frac{2+i}{1+xi} = \frac{(2+i)(1-xi)}{(1+xi)(1-xi)} = \frac{2 - 2xi + i - xi^2}{1 - x^2i^2} = \frac{2 + x + (1 - 2x)i}{1 + x^2}$

$\frac{2+x + (1-2x)i}{1+x^2}$ が純虚数なので、$2+x = 0$。したがって、$x = -2$。

また、$1 - 2x \neq 0$である必要があるので、$x \neq \frac{1}{2}$。

3. 最終的な答え

(1)

$\arg\left(\frac{\beta - \alpha}{\gamma - \alpha}\right) = -\frac{\pi}{4} + 2n\pi$

$\left|\frac{\beta - \alpha}{\gamma - \alpha}\right| = \frac{\sqrt{2}}{4}$

(2)

(a) $x = \frac{1}{2}$

(b) $x = -2$

したがって、問題文の空欄に当てはまるのは以下の通りです。

1: 4

2: 2

3: 4

4: 1

5: 2

6: -

7: 2

最終的な答え：

(1) 偏角: $-\frac{\pi}{4} + 2n\pi$, 絶対値: $\frac{\sqrt{2}}{4}$

(2) (a) $x = \frac{1}{2}$, (b) $x = -2$

$\newline$

1. 問題の内容

$\alpha = 1-i, \beta = 3, \gamma = 3+5i$として、$\frac{\beta-\alpha}{\gamma-\alpha}$の偏角と絶対値を求める。

また、３点A($\alpha$), B($\beta$), C($4+xi$)について、3点A,B,Cが一直線上にあるような実数xの値と、２直線AB, BCが垂直に交わるような実数xの値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\beta - \alpha = 3-(1-i) = 2+i$

$\gamma - \alpha = (3+5i)-(1-i) = 2+6i$

$\frac{\beta-\alpha}{\gamma-\alpha} = \frac{2+i}{2+6i} = \frac{(2+i)(2-6i)}{(2+6i)(2-6i)} = \frac{4 - 12i + 2i - 6i^2}{4+36} = \frac{10-10i}{40} = \frac{1-i}{4} = \frac{1}{4} - \frac{i}{4}$

偏角: $arg(\frac{1}{4}-\frac{i}{4}) = -\frac{\pi}{4} + 2n\pi$

絶対値: $|\frac{1}{4}-\frac{i}{4}| = \sqrt{(\frac{1}{4})^2 + (-\frac{1}{4})^2} = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{2}{16}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

(2)

(a) 3点A, B, Cが一直線上にあるとき、ベクトルABとベクトルACが平行なので、

$\frac{4+xi-\alpha}{\beta-\alpha} = \frac{4+xi-(1-i)}{3-(1-i)} = \frac{3+(x+1)i}{2+i} = \frac{(3+(x+1)i)(2-i)}{(2+i)(2-i)} = \frac{6-3i+(2x+2)i+(x+1)}{4+1} = \frac{7+x+(2x-1)i}{5}$が実数になる。

よって、$2x-1=0$より$x = \frac{1}{2}$

(b) 2直線AB, BCが垂直に交わる時, $\frac{\beta-\alpha}{4+xi-\beta}$が純虚数になる

$\frac{\beta-\alpha}{4+xi-\beta} = \frac{3-(1-i)}{4+xi-3} = \frac{2+i}{1+xi} = \frac{(2+i)(1-xi)}{(1+xi)(1-xi)} = \frac{2-2xi+i+x}{1+x^2} = \frac{2+x + (1-2x)i}{1+x^2}$

よって, $2+x = 0$より $x=-2$.

3. 最終的な答え

(1)

偏角: $-\frac{\pi}{4}$

絶対値: $\frac{\sqrt{2}}{4}$

(2)

(a) $x = \frac{1}{2}$

(b) $x = -2$

1: 4

2: 2

3: 4

4: 1

5: 2

6: -

7: 2

$\newline$