次の計算をせよ。 $\frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}} - \frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}$

1. 問題の内容

次の計算をせよ。

$\frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}} - \frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数を有理化します。

$\frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}$ の分母分子に $3-\sqrt{5}$ をかけます。

$\frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}$ の分母分子に $3+\sqrt{5}$ をかけます。

$\frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}} = \frac{(3-\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})} = \frac{9 - 6\sqrt{5} + 5}{9 - 5} = \frac{14-6\sqrt{5}}{4} = \frac{7-3\sqrt{5}}{2}$

$\frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}} = \frac{(3+\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})} = \frac{9 + 6\sqrt{5} + 5}{9 - 5} = \frac{14+6\sqrt{5}}{4} = \frac{7+3\sqrt{5}}{2}$

したがって、

$\frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}} - \frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}} = \frac{7-3\sqrt{5}}{2} - \frac{7+3\sqrt{5}}{2} = \frac{7-3\sqrt{5} - (7+3\sqrt{5})}{2} = \frac{7-3\sqrt{5}-7-3\sqrt{5}}{2} = \frac{-6\sqrt{5}}{2} = -3\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$-3\sqrt{5}$