与えられた行列を、行基本変形（行の入れ替え、行のスカラー倍、ある行のスカラー倍を別の行に加える）を用いて階段行列に変形し、その階数を求める。与えられた行列は以下の通りです。 $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & -4 & 3 \\ 2 & 2 & -11 & 11 \\ 1 & 0 & -3 & -10 \end{pmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた行列を、行基本変形（行の入れ替え、行のスカラー倍、ある行のスカラー倍を別の行に加える）を用いて階段行列に変形し、その階数を求める。与えられた行列は以下の通りです。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 2 & -4 & 3 \\

2 & 2 & -11 & 11 \\

1 & 0 & -3 & -10

\end{pmatrix}

$$

2. 解き方の手順

まず、与えられた行列を行基本変形を用いて階段行列に変形します。

ステップ1: 2行目から1行目の2倍を引きます。3行目から1行目を引きます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 2 & -4 & 3 \\

2-2*1 & 2-2*2 & -11-2*(-4) & 11-2*3 \\

1-1 & 0-2 & -3-(-4) & -10-3

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

1 & 2 & -4 & 3 \\

0 & -2 & -3 & 5 \\

0 & -2 & 1 & -13

\end{pmatrix}

$$

ステップ2: 3行目から2行目を引きます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 2 & -4 & 3 \\

0 & -2 & -3 & 5 \\

0 & -2-(-2) & 1-(-3) & -13-5

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

1 & 2 & -4 & 3 \\

0 & -2 & -3 & 5 \\

0 & 0 & 4 & -18

\end{pmatrix}

$$

これは階段行列です。

ステップ3: 階数を求めます。階段行列において、0でない行の数が階数です。この階段行列では、0でない行が3行あるので、階数は3です。

3. 最終的な答え

階段行列は

$$

\begin{pmatrix}

1 & 2 & -4 & 3 \\

0 & -2 & -3 & 5 \\

0 & 0 & 4 & -18

\end{pmatrix}

$$

であり、階数は3です。