与えられた式 $\frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}} - \frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}$ を計算し、簡略化すること。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}} - \frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}$ を計算し、簡略化すること。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数を有理化します。

$\frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}$ の分母と分子に $3-\sqrt{5}$ を掛けます。

$\frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}} = \frac{(3-\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}$

$= \frac{9 - 6\sqrt{5} + 5}{9 - 5}$

$= \frac{14 - 6\sqrt{5}}{4}$

$= \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2}$

$\frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}$ の分母と分子に $3+\sqrt{5}$ を掛けます。

$\frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}} = \frac{(3+\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}$

$= \frac{9 + 6\sqrt{5} + 5}{9 - 5}$

$= \frac{14 + 6\sqrt{5}}{4}$

$= \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2}$

次に、これらの結果を元の式に代入します。

$\frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}} - \frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}} = \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2} - \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2}$

$= \frac{(7 - 3\sqrt{5}) - (7 + 3\sqrt{5})}{2}$

$= \frac{7 - 3\sqrt{5} - 7 - 3\sqrt{5}}{2}$

$= \frac{-6\sqrt{5}}{2}$

$= -3\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$-3\sqrt{5}$