与えられた式 $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{6}}{\sqrt{3} - \sqrt{6}}$ を計算し、簡略化します。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{6}}{\sqrt{3} - \sqrt{6}}$ を計算し、簡略化します。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、分母の共役な複素数である $(\sqrt{3} + \sqrt{6})$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{6}}{\sqrt{3} - \sqrt{6}} = \frac{(\sqrt{3} + \sqrt{6})(\sqrt{3} + \sqrt{6})}{(\sqrt{3} - \sqrt{6})(\sqrt{3} + \sqrt{6})}$

分母は $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ の形になるので、

$(\sqrt{3} - \sqrt{6})(\sqrt{3} + \sqrt{6}) = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{6})^2 = 3 - 6 = -3$

分子は $(\sqrt{3} + \sqrt{6})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 3 + 2\sqrt{18} + 6 = 9 + 2\sqrt{9 \times 2} = 9 + 2(3\sqrt{2}) = 9 + 6\sqrt{2}$

したがって、

$\frac{(\sqrt{3} + \sqrt{6})(\sqrt{3} + \sqrt{6})}{(\sqrt{3} - \sqrt{6})(\sqrt{3} + \sqrt{6})} = \frac{9 + 6\sqrt{2}}{-3} = \frac{3(3 + 2\sqrt{2})}{-3} = -(3 + 2\sqrt{2}) = -3 - 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$-3 - 2\sqrt{2}$