関数 $y = f(x) = x^2 - (a-1)x + 2a - 4$ の区間 $-2 \le x \le 4$ における最大値と最小値を、$a$ の値によって場合分けして求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = f(x) = x^2 - (a-1)x + 2a - 4$ の区間 $-2 \le x \le 4$ における最大値と最小値を、$a$ の値によって場合分けして求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

$y = x^2 - (a-1)x + 2a - 4$

$y = \left(x - \frac{a-1}{2}\right)^2 - \left(\frac{a-1}{2}\right)^2 + 2a - 4$

$y = \left(x - \frac{a-1}{2}\right)^2 - \frac{a^2 - 2a + 1}{4} + \frac{8a - 16}{4}$

$y = \left(x - \frac{a-1}{2}\right)^2 - \frac{a^2 - 10a + 17}{4}$

軸は $x = \frac{a-1}{2}$ です。定義域は $-2 \le x \le 4$ です。

$a$の値によって軸の位置が変化するので、以下のケースに分けて考えます。

ケース1: $\frac{a-1}{2} < -2$ つまり $a < -3$ のとき

区間 $-2 \le x \le 4$ において、$f(x)$ は単調増加です。

最大値は $f(4) = 4^2 - (a-1)4 + 2a - 4 = 16 - 4a + 4 + 2a - 4 = 16 - 2a$

最小値は $f(-2) = (-2)^2 - (a-1)(-2) + 2a - 4 = 4 + 2a - 2 + 2a - 4 = 4a - 2$

ケース2: $-2 \le \frac{a-1}{2} \le 4$ つまり $-3 \le a \le 9$ のとき

軸が定義域に含まれるので、頂点で最小値をとります。

最小値は $-\frac{a^2 - 10a + 17}{4}$

最大値は、$f(-2)$ と $f(4)$ のどちらか大きい方になります。

$f(4) - f(-2) = (16 - 2a) - (4a - 2) = 18 - 6a$

$f(4) > f(-2) \iff 18 - 6a > 0 \iff a < 3$

$f(4) = f(-2) \iff a = 3$

$f(4) < f(-2) \iff a > 3$

したがって、

$-3 \le a < 3$ のとき、最大値は $f(4) = 16 - 2a$

$a = 3$ のとき、最大値は $f(4) = f(-2) = 10$

$3 < a \le 9$ のとき、最大値は $f(-2) = 4a - 2$

ケース3: $\frac{a-1}{2} > 4$ つまり $a > 9$ のとき

区間 $-2 \le x \le 4$ において、$f(x)$ は単調減少です。

最大値は $f(-2) = 4a - 2$

最小値は $f(4) = 16 - 2a$

3. 最終的な答え

| aの範囲 | 最大値 | 最小値 |

|----------|--------------|---------------|

| a < -3 | 16 - 2a | 4a - 2 |

| -3 ≤ a < 3 | 16 - 2a | - (a^2 - 10a + 17)/4 |

| a = 3 | 10 | - (a^2 - 10a + 17)/4 = - (9-30+17)/4 = -(-4)/4 = 1 |

| 3 < a ≤ 9 | 4a - 2 | - (a^2 - 10a + 17)/4 |

| a > 9 | 4a - 2 | 16 - 2a |