複素数 $z$ が方程式 $|z+1| = 2|z+2|$ を満たすとき、そのような $z$ 全体はどのような図形になるかを求める問題です。画像には、その解法が途中まで示されており、空欄を埋める必要があります。

1. 問題の内容

複素数 $z$ が方程式 $|z+1| = 2|z+2|$ を満たすとき、そのような $z$ 全体はどのような図形になるかを求める問題です。画像には、その解法が途中まで示されており、空欄を埋める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式 $|z+1| = 2|z+2|$ の両辺を2乗します。

$|z+1|^2 = 4|z+2|^2$

$(z+1)(\bar{z}+1) = 4(z+2)(\bar{z}+2)$

$z\bar{z} + z + \bar{z} + 1 = 4(z\bar{z} + 2z + 2\bar{z} + 4)$

$z\bar{z} + z + \bar{z} + 1 = 4z\bar{z} + 8z + 8\bar{z} + 16$

$3z\bar{z} + 7z + 7\bar{z} + 15 = 0$

両辺を3で割ります。

$z\bar{z} + \frac{7}{3}z + \frac{7}{3}\bar{z} + 5 = 0$

$z\bar{z} + \frac{7}{3}z + \frac{7}{3}\bar{z} + (\frac{7}{3})^2 - (\frac{7}{3})^2 + 5 = 0$

$(z + \frac{7}{3})(\bar{z} + \frac{7}{3}) = (\frac{7}{3})^2 - 5 = \frac{49}{9} - \frac{45}{9} = \frac{4}{9}$

$|z + \frac{7}{3}|^2 = \frac{4}{9}$

$|z + \frac{7}{3}| = \frac{2}{3}$

よって、$|z - (-\frac{7}{3})| = \frac{2}{3}$ となるので、これは中心が $-\frac{7}{3}$ で半径が $\frac{2}{3}$ の円を表します。画像に合わせて分数で表すと、中心は $-\frac{7}{3} = -\frac{7\times1}{3\times1} = -\frac{7}{3}$であり、半径は$\frac{2}{3}$となります。画像で空欄になっている部分を埋めると、中心は $-\frac{7}{3}$ であり、これは $\frac{8}{10}, \frac{9}{10}$には当てはまらないので、計算ミスがないか確認します。

$3z\bar{z} + 7z + 7\bar{z} + 15 = 0$

$z\bar{z} + \frac{7}{3}z + \frac{7}{3}\bar{z} + 5 = 0$

$z\bar{z} + \frac{7}{3}z + \frac{7}{3}\bar{z} + (\frac{7}{3})^2 = (\frac{7}{3})^2 - 5$

$(z + \frac{7}{3})(\bar{z} + \frac{7}{3}) = \frac{49}{9} - \frac{45}{9} = \frac{4}{9}$

$|z + \frac{7}{3}|^2 = \frac{4}{9}$

$|z + \frac{7}{3}| = \frac{2}{3}$

$|z - (-\frac{7}{3})| = \frac{2}{3}$

したがって、中心は $-\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3}$、半径は $\frac{2}{3}$ の円です。

画像を見ると、

$z\bar{z} + \frac{1}{2}z + \frac{1}{2}\bar{z} + 3 = 0$

という部分があります。これは、$3z\bar{z} + 7z + 7\bar{z} + 15 = 0$ に一致しません。

$|z+1|^2 = 4|z+2|^2$

$(z+1)(\bar{z}+1) = 4(z+2)(\bar{z}+2)$

$z\bar{z}+z+\bar{z}+1 = 4(z\bar{z}+2z+2\bar{z}+4)$

$z\bar{z}+z+\bar{z}+1 = 4z\bar{z}+8z+8\bar{z}+16$

$3z\bar{z}+7z+7\bar{z}+15 = 0$

$z\bar{z} + \frac{7}{3}z + \frac{7}{3}\bar{z} + 5 = 0$

$z\bar{z} + \frac{7}{3}z + \frac{7}{3}\bar{z} + (\frac{7}{3})^2 - (\frac{7}{3})^2 + 5 = 0$

$(z+\frac{7}{3})(\bar{z}+\frac{7}{3}) = (\frac{7}{3})^2 - 5 = \frac{49}{9}-\frac{45}{9} = \frac{4}{9}$

$|z+\frac{7}{3}|^2 = \frac{4}{9}$

$|z+\frac{7}{3}| = \frac{2}{3}$

$|z-(-\frac{7}{3})| = \frac{2}{3}$

画像で、$z\bar{z}+\frac{1}{2}z+\frac{1}{2}\bar{z}+3=0$ と書いてある部分は誤りです。

$|z+\frac{1}{2}|^2 = \frac{4}{5}$ も誤りです。

$|z+\frac{1}{2}| = \frac{6}{7}$ も誤りです。

しかし、画像の指示に従うと、次のようになります。

$|z + \frac{1}{2}| = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

画像の通りに進めるならば

$|z + \frac{1}{2}| = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{6}{7}$

$\frac{8}{9}$ は$\frac{7}{3}$の値に近い数字です。 $\frac{7}{3} = 2.333$、$\frac{8}{9} = 0.8889$

$\frac{9}{10}$ は$\frac{7}{3}$の値に近い数字です。 $\frac{7}{3} = 2.333$、$\frac{9}{10} = 0.9$

中心：$-\frac{7}{3} = -\frac{70}{30}$、半径：$\frac{2}{3} = \frac{20}{30}$

3. 最終的な答え

点 $-\frac{7}{3}$ を中心とする半径 $\frac{2}{3}$ の円