$\alpha = 3 + i$、$\beta = 1 - 2i$のとき、以下の値を計算する。 (i) $\alpha - \beta$ (ii) $\overline{\alpha}\beta$ (ここで$\overline{\alpha}$は$\alpha$の複素共役) (iii) $\frac{\beta}{\alpha}$ (iv) $|\alpha - \beta|$ (v) $|\alpha + \beta|$ (3) $(1-2i)^5$ (4) $(1-i)^4(2+i)^5$

1. 問題の内容

$\alpha = 3 + i$、$\beta = 1 - 2i$のとき、以下の値を計算する。

(i) $\alpha - \beta$

(ii) $\overline{\alpha}\beta$ (ここで$\overline{\alpha}$は$\alpha$の複素共役)

(iii) $\frac{\beta}{\alpha}$

(iv) $|\alpha - \beta|$

(v) $|\alpha + \beta|$

(3) $(1-2i)^5$

(4) $(1-i)^4(2+i)^5$

2. 解き方の手順

(i) $\alpha - \beta = (3 + i) - (1 - 2i) = 3 + i - 1 + 2i = 2 + 3i$

4の選択肢は存在しないため、正解は5 + 6iでも5 - 6iでもありません。しかし、計算結果は$2 + 3i$なので、問題に選択肢があるはずです。

(ii) $\overline{\alpha}\beta = (3 - i)(1 - 2i) = 3 - 6i - i + 2i^2 = 3 - 7i - 2 = 1 - 7i$

7の選択肢は存在しないため、正解は8 + 9iでも8 - 9iでもありません。しかし、計算結果は$1 - 7i$なので、問題に選択肢があるはずです。

(iii)

$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{1 - 2i}{3 + i} = \frac{(1 - 2i)(3 - i)}{(3 + i)(3 - i)} = \frac{3 - i - 6i + 2i^2}{9 - i^2} = \frac{3 - 7i - 2}{9 + 1} = \frac{1 - 7i}{10} = \frac{1}{10} - \frac{7}{10}i$

したがって、$10 = 1$, $11 = 0$, $12 = 7$, $13 = 0$となります。

(iv) $\alpha - \beta = 2 + 3i$より、

$|\alpha - \beta| = |2 + 3i| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$

したがって、$14 = 1$, $15 = 3$となります。

(v) $\alpha + \beta = (3 + i) + (1 - 2i) = 4 - i$

$|\alpha + \beta| = |4 - i| = \sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$

したがって、$16 = 1$, $17 = 7$となります。

(3) $(1-2i)^5 = (1-2i)^2 (1-2i)^2 (1-2i) = (1-4i-4)(1-4i-4)(1-2i) = (-3-4i)(-3-4i)(1-2i) = (9+24i-16)(1-2i) = (-7+24i)(1-2i) = -7+14i+24i+48 = 41+38i$

したがって、$18 = 4$, $19 = 1$, $20 = 3$, $21 = 8$となります。

(4) $(1-i)^4 = ((1-i)^2)^2 = (1-2i-1)^2 = (-2i)^2 = -4$

$(2+i)^5 = (2+i)^2 (2+i)^2 (2+i) = (4+4i-1)(4+4i-1)(2+i) = (3+4i)(3+4i)(2+i) = (9+24i-16)(2+i) = (-7+24i)(2+i) = -14-7i+48i-24 = -38+41i$

$(1-i)^4(2+i)^5 = -4(-38+41i) = 152-164i$

したがって、$22 = 1$, $23 = 5$, $24 = 2$, $25 = 1$, $26 = 6$, $27 = 4$となります。

3. 最終的な答え

(i) $\alpha - \beta = 2 + 3i$

(ii) $\overline{\alpha}\beta = 1 - 7i$

(iii) $\frac{\beta}{\alpha} = \frac{1}{10} - \frac{7}{10}i$ (10 = 1, 11 = 0, 12 = 7, 13 = 0)

(iv) $|\alpha - \beta| = \sqrt{13}$ (14 = 1, 15 = 3)

(v) $|\alpha + \beta| = \sqrt{17}$ (16 = 1, 17 = 7)

(3) $(1-2i)^5 = 41 + 38i$ (18 = 4, 19 = 1, 20 = 3, 21 = 8)

(4) $(1-i)^4(2+i)^5 = 152 - 164i$ (22 = 1, 23 = 5, 24 = 2, 25 = 1, 26 = 6, 27 = 4)