与えられた問題は、複素数の計算、極座標表示、複素数の絶対値に関する問題です。具体的には以下の内容を解く必要があります。 (1) 点 $(-2\sqrt{3}, 2)$ を極座標で表す。 (2) $\alpha = 3+i, \beta = 1-2i$ のとき、以下の値を計算する。 (i) $\alpha - \beta$ (ii) $\overline{\alpha\beta}$ (iii) $\frac{\beta}{\alpha}$ (iv) $|\alpha - \beta|$ (v) $|\alpha + \beta|$ (3) $(1-2i)^5$ を計算する。 (4) $(1-i)^4 (2+i)^5$ を計算する。

1. 問題の内容

与えられた問題は、複素数の計算、極座標表示、複素数の絶対値に関する問題です。具体的には以下の内容を解く必要があります。

(1) 点 $(-2\sqrt{3}, 2)$ を極座標で表す。

(2) $\alpha = 3+i, \beta = 1-2i$ のとき、以下の値を計算する。

(i) $\alpha - \beta$

(ii) $\overline{\alpha\beta}$

(iii) $\frac{\beta}{\alpha}$

(iv) $|\alpha - \beta|$

(v) $|\alpha + \beta|$

(3) $(1-2i)^5$ を計算する。

(4) $(1-i)^4 (2+i)^5$ を計算する。

2. 解き方の手順

(1) 極座標表示

点 $(x, y)$ の極座標 $(r, \theta)$ は、

$r = \sqrt{x^2 + y^2}$

$\theta = \arctan(\frac{y}{x})$

で求められます。

この問題では、$(x, y) = (-2\sqrt{3}, 2)$ なので、

$r = \sqrt{(-2\sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4$

$\tan(\theta) = \frac{2}{-2\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

$x < 0, y > 0$ より、$\theta$ は第2象限の角であり、$\theta = \frac{5\pi}{6}$ となります。

(2) 複素数の計算

(i) $\alpha - \beta = (3+i) - (1-2i) = 3+i-1+2i = 2+3i$

(ii) $\alpha\beta = (3+i)(1-2i) = 3 - 6i + i - 2i^2 = 3 - 5i + 2 = 5 - 5i$

$\overline{\alpha\beta} = 5 + 5i$

(iii) $\frac{\beta}{\alpha} = \frac{1-2i}{3+i} = \frac{(1-2i)(3-i)}{(3+i)(3-i)} = \frac{3-i-6i+2i^2}{9-i^2} = \frac{3-7i-2}{9+1} = \frac{1-7i}{10} = \frac{1}{10} - \frac{7}{10}i$

(iv) $|\alpha - \beta| = |2+3i| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$

(v) $\alpha + \beta = (3+i) + (1-2i) = 4-i$

$|\alpha + \beta| = |4-i| = \sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{16+1} = \sqrt{17}$

(3) $(1-2i)^5$ の計算

$(1-2i)^2 = 1 - 4i - 4 = -3 - 4i$

$(1-2i)^4 = (-3-4i)^2 = 9 + 24i - 16 = -7 + 24i$

$(1-2i)^5 = (1-2i)^4 (1-2i) = (-7+24i)(1-2i) = -7 + 14i + 24i - 48i^2 = -7 + 38i + 48 = 41 + 38i$

(4) $(1-i)^4 (2+i)^5$ の計算

$(1-i)^2 = 1 - 2i - 1 = -2i$

$(1-i)^4 = (-2i)^2 = -4$

$(2+i)^2 = 4 + 4i - 1 = 3+4i$

$(2+i)^4 = (3+4i)^2 = 9 + 24i - 16 = -7 + 24i$

$(2+i)^5 = (2+i)^4 (2+i) = (-7+24i)(2+i) = -14 - 7i + 48i - 24 = -38 + 41i$

$(1-i)^4 (2+i)^5 = -4(-38+41i) = 152 - 164i$

3. 最終的な答え

(1) $(4, \frac{5}{6}\pi)$

1: 4, 2: 5, 3: 6

(2) (i) $2+3i$

4: 2

(ii) $5+5i$

7: 5

(iii) $\frac{1}{10} - \frac{7}{10}i$

10: 1, 11: 10, 12: 7, 13: 10

(iv) $\sqrt{13}$

14: 1, 15: 3

(v) $\sqrt{17}$

16: 1, 17: 7

(3) $41+38i$

18: 4, 19: 1, 20: 3, 21: 8

(4) $152 - 164i$

22: 1, 23: 5, 24: 2, 25: 1, 26: 6, 27: 4