与えられた行列を、行基本変形（操作I、操作II）を用いて階段行列に変形し、その階数を求めます。与えられた行列は以下の通りです。 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & -4 & 3 \\ 2 & 2 & -11 & 11 \\ 1 & 0 & -3 & -10 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列を、行基本変形（操作I、操作II）を用いて階段行列に変形し、その階数を求めます。与えられた行列は以下の通りです。

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & -4 & 3 \\

2 & 2 & -11 & 11 \\

1 & 0 & -3 & -10

\end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

まず、与えられた行列を行基本変形を用いて階段行列に変形します。

ステップ1: 2行目を1行目の定数倍を引くことで、(2,1)成分を0にします。具体的には、2行目から1行目の2倍を引きます。

$R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1$

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & -4 & 3 \\

2-2(1) & 2-2(2) & -11-2(-4) & 11-2(3) \\

1 & 0 & -3 & -10

\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}

1 & 2 & -4 & 3 \\

0 & -2 & -3 & 5 \\

1 & 0 & -3 & -10

\end{pmatrix}$

ステップ2: 3行目を1行目の定数倍を引くことで、(3,1)成分を0にします。具体的には、3行目から1行目を引きます。

$R_3 \rightarrow R_3 - R_1$

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & -4 & 3 \\

0 & -2 & -3 & 5 \\

1-1 & 0-2 & -3-(-4) & -10-3

\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}

1 & 2 & -4 & 3 \\

0 & -2 & -3 & 5 \\

0 & -2 & 1 & -13

\end{pmatrix}$

ステップ3: 3行目を2行目の定数倍を引くことで、(3,2)成分を0にします。具体的には、3行目から2行目を引きます。

$R_3 \rightarrow R_3 - R_2$

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & -4 & 3 \\

0 & -2 & -3 & 5 \\

0 & -2-(-2) & 1-(-3) & -13-5

\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}

1 & 2 & -4 & 3 \\

0 & -2 & -3 & 5 \\

0 & 0 & 4 & -18

\end{pmatrix}$

これで階段行列になりました。

階段行列の階数は、0でない行の数です。この行列では、すべての行が0でないので、階数は3です。

3. 最終的な答え

階段行列:

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & -4 & 3 \\

0 & -2 & -3 & 5 \\

0 & 0 & 4 & -18

\end{pmatrix}$

階数: 3