$a$を定数とする。2つの2次方程式 $2x^2 - ax - (2a+2) = 0$ と $x^2 - (a+2)x + (a+7) = 0$ が共通解を1つだけ持つとき、その共通解と$a$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$を定数とする。2つの2次方程式 $2x^2 - ax - (2a+2) = 0$ と $x^2 - (a+2)x + (a+7) = 0$ が共通解を1つだけ持つとき、その共通解と$a$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、共通解を$\alpha$とおくと、以下の2つの式が成り立つ。

$2\alpha^2 - a\alpha - (2a+2) = 0$ ...(1)

$\alpha^2 - (a+2)\alpha + (a+7) = 0$ ...(2)

(1) - 2*(2)より、

$2\alpha^2 - a\alpha - (2a+2) - 2(\alpha^2 - (a+2)\alpha + (a+7)) = 0$

$2\alpha^2 - a\alpha - 2a - 2 - 2\alpha^2 + 2(a+2)\alpha - 2a - 14 = 0$

$2\alpha^2 - a\alpha - 2a - 2 - 2\alpha^2 + 2a\alpha + 4\alpha - 2a - 14 = 0$

$(a+4)\alpha - 4a - 16 = 0$

$(a+4)\alpha = 4a + 16$

$(a+4)\alpha = 4(a+4)$ ...(3)

(i) $a = -4$ のとき、(1), (2)はそれぞれ

$2x^2 + 4x + 6 = 0$ すなわち $x^2 + 2x + 3 = 0$

$x^2 + 2x + 3 = 0$

この方程式の判別式 $D = 2^2 - 4(1)(3) = 4 - 12 = -8 < 0$より、実数解を持たない。

したがって、$a = -4$は不適。

(ii) $a \neq -4$ のとき、(3)より $\alpha = 4$

$\alpha = 4$を(2)に代入すると、

$4^2 - (a+2)(4) + (a+7) = 0$

$16 - 4a - 8 + a + 7 = 0$

$-3a + 15 = 0$

$3a = 15$

$a = 5$

このとき、

$2x^2 - 5x - 12 = 0$

$(2x+3)(x-4) = 0$

$x = 4, -\frac{3}{2}$

$x^2 - 7x + 12 = 0$

$(x-3)(x-4) = 0$

$x = 3, 4$

確かに共通解は$x=4$のみである。

3. 最終的な答え

共通解は $4$であり、$a=5$である。