(1) 関数 $f(x) = x^2 - 2kx + 1$ の最小値が $-3$ であるように、正の数 $k$ の値を定める問題です。 (2) 2次関数 $y = ax^2 + 2ax + a^2$ が最大値 $6$ をとるとき、定数 $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = x^2 - 2kx + 1$ の最小値が $-3$ であるように、正の数 $k$ の値を定める問題です。

(2) 2次関数 $y = ax^2 + 2ax + a^2$ が最大値 $6$ をとるとき、定数 $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1)

まず、関数 $f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = x^2 - 2kx + 1 = (x-k)^2 - k^2 + 1$

この関数は $x=k$ のとき最小値 $-k^2 + 1$ をとります。

問題文より、最小値は $-3$ なので、

$-k^2 + 1 = -3$

これを解くと、

$k^2 = 4$

$k = \pm 2$

$k$ は正の数なので、$k=2$

(2)

$y = ax^2 + 2ax + a^2 = a(x^2 + 2x) + a^2$

$y = a(x+1)^2 - a + a^2$

$y = a(x+1)^2 + a^2 - a$

最大値を持つので、$a < 0$ である必要があります。

このとき、頂点の $y$ 座標が最大値となるので、

$a^2 - a = 6$

$a^2 - a - 6 = 0$

$(a-3)(a+2) = 0$

$a = 3, -2$

$a < 0$ であることから、$a = -2$

3. 最終的な答え

(1) $k=2$

(2) $a=-2$