与えられた行列を、行基本変形（操作I：行の入れ替え、操作II：ある行に定数をかけて別の行に加える）を用いて階段行列に変形し、その階数を求める問題です。与えられた行列は次の通りです。 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & -4 & 3 \\ 2 & 2 & -11 & 11 \\ 1 & 0 & -3 & -10 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列を、行基本変形（操作I：行の入れ替え、操作II：ある行に定数をかけて別の行に加える）を用いて階段行列に変形し、その階数を求める問題です。与えられた行列は次の通りです。

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & -4 & 3 \\

2 & 2 & -11 & 11 \\

1 & 0 & -3 & -10

\end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

まず、与えられた行列に対して行基本変形を行います。

1. 2行目から1行目の2倍を引きます（2行目を $R_2$、1行目を $R_1$ とすると、$R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1$）。

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & -4 & 3 \\

0 & -2 & -3 & 5 \\

1 & 0 & -3 & -10

\end{pmatrix}$

2. 3行目から1行目を引きます（3行目を $R_3$ とすると、$R_3 \rightarrow R_3 - R_1$）。

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & -4 & 3 \\

0 & -2 & -3 & 5 \\

0 & -2 & 1 & -13

\end{pmatrix}$

3. 3行目から2行目を引きます（$R_3 \rightarrow R_3 - R_2$）。

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & -4 & 3 \\

0 & -2 & -3 & 5 \\

0 & 0 & 4 & -18

\end{pmatrix}$

4. 2行目を $-\frac{1}{2}$ 倍します ($R_2 \rightarrow -\frac{1}{2}R_2$)。

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & -4 & 3 \\

0 & 1 & \frac{3}{2} & -\frac{5}{2} \\

0 & 0 & 4 & -18

\end{pmatrix}$

5. 3行目を $\frac{1}{4}$ 倍します ($R_3 \rightarrow \frac{1}{4}R_3$)。

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & -4 & 3 \\

0 & 1 & \frac{3}{2} & -\frac{5}{2} \\

0 & 0 & 1 & -\frac{9}{2}

\end{pmatrix}$

これで階段行列になりました。

階段行列の階数は、0でない行の数です。この行列では、すべての行が0でないため、階数は3です。

3. 最終的な答え

階段行列:

$\begin{pmatrix}

1 & 2 & -4 & 3 \\

0 & 1 & \frac{3}{2} & -\frac{5}{2} \\

0 & 0 & 1 & -\frac{9}{2}

\end{pmatrix}$

階数：3