正の定数 $a$ に対して、区間 $0 \le x \le a$ における関数 $f(x) = x^2 - 4x + 5$ の最小値と最大値を求める。

## 問題31

1. 問題の内容

正の定数 $a$ に対して、区間 $0 \le x \le a$ における関数 $f(x) = x^2 - 4x + 5$ の最小値と最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 最小値を求める。

まず、$f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = (x-2)^2 + 1$

この関数は、軸が $x=2$ の下に凸な放物線である。

$x=2$ が定義域 $0 \le x \le a$ に含まれるかどうかで場合分けをする。

* $0 < a < 2$ のとき、区間内で単調減少なので、最小値は $f(a) = a^2 - 4a + 5$

* $a \ge 2$ のとき、頂点 $x=2$ を含むので、最小値は $f(2) = 1$

(2) 最大値を求める。

$f(x) = (x-2)^2 + 1$ より、軸から最も離れたところが最大値となる。

* $0 \le a < 4$ のとき、$x=0$ が軸から最も離れているので、最大値は $f(0) = 5$

* $a \ge 4$ のとき、$x=a$ が軸から最も離れているので、最大値は $f(a) = a^2 - 4a + 5$

3. 最終的な答え

(1) 最小値

* $0 < a < 2$ のとき: $a^2 - 4a + 5$

* $a \ge 2$ のとき: $1$

(2) 最大値

* $0 \le a < 4$ のとき: $5$

* $a \ge 4$ のとき: $a^2 - 4a + 5$

## 問題32

1. 問題の内容

定数 $a$ に対して、区間 $0 \le x \le 2$ における関数 $f(x) = x^2 - 2ax - 4a$ の最小値と最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 最小値を求める。

まず、$f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = (x-a)^2 - a^2 - 4a$

この関数は、軸が $x=a$ の下に凸な放物線である。

$x=a$ が定義域 $0 \le x \le 2$ に含まれるかどうかで場合分けをする。

* $a < 0$ のとき、区間内で単調増加なので、最小値は $f(0) = -4a$

* $0 \le a \le 2$ のとき、頂点 $x=a$ を含むので、最小値は $f(a) = -a^2 - 4a$

* $a > 2$ のとき、区間内で単調減少なので、最小値は $f(2) = 4 - 4a - 4a = 4 - 8a$

(2) 最大値を求める。

$f(x) = (x-a)^2 - a^2 - 4a$ より、軸から最も離れたところが最大値となる。

* $a \le 1$ のとき、$x=2$ が軸から最も離れているので、最大値は $f(2) = 4 - 4a - 4a = 4 - 8a$

* $a > 1$ のとき、$x=0$ が軸から最も離れているので、最大値は $f(0) = -4a$

3. 最終的な答え

(1) 最小値

* $a < 0$ のとき: $-4a$

* $0 \le a \le 2$ のとき: $-a^2 - 4a$

* $a > 2$ のとき: $4 - 8a$

(2) 最大値

* $a \le 1$ のとき: $4 - 8a$

* $a > 1$ のとき: $-4a$