初項が1、公比が2、末項が128である等比数列$\{a_n\}$の和を求めます。

1. 問題の内容

初項が1、公比が2、末項が128である等比数列$\{a_n\}$の和を求めます。

2. 解き方の手順

まず、この等比数列の項数 $n$ を求めます。

等比数列の一般項は、$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$ で表されます。

ここで、$a_1 = 1$, $r = 2$, $a_n = 128$ なので、

$128 = 1 \cdot 2^{n-1}$

$2^7 = 2^{n-1}$

したがって、$n - 1 = 7$, よって $n = 8$ となります。

次に、等比数列の和の公式を使います。

等比数列の和 $S_n$ は、$S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1}$ で表されます。

$a_1 = 1$, $r = 2$, $n = 8$ を代入すると、

$S_8 = \frac{1(2^8 - 1)}{2 - 1} = \frac{256 - 1}{1} = 255$ となります。

3. 最終的な答え

255