次の4つの式を因数分解する問題です。 (1) $6x^2 + (3a - 2b)x - ab$ (2) $x^2 + y^2 - 2xy - z^2$ (3) $3x^2 + ax - 2a^2 + 4x - a + 1$ (4) $ab^2 - bc^2 - b^2c - c^2a$

1. 問題の内容

次の4つの式を因数分解する問題です。

(1) $6x^2 + (3a - 2b)x - ab$

(2) $x^2 + y^2 - 2xy - z^2$

(3) $3x^2 + ax - 2a^2 + 4x - a + 1$

(4) $ab^2 - bc^2 - b^2c - c^2a$

2. 解き方の手順

(1)

$6x^2 + (3a - 2b)x - ab$ を因数分解します。

これは $ax^2 + bx + c$ の形の二次式なので、たすき掛けを利用します。

$6x^2$ は $2x \times 3x$ または $x \times 6x$ などに分解できます。

$-ab$ は $(-a) \times b$ または $a \times (-b)$ などに分解できます。

$(2x + a)(3x - b) = 6x^2 - 2bx + 3ax - ab = 6x^2 + (3a - 2b)x - ab$

よって、因数分解の結果は $(2x + a)(3x - b)$ です。

(2)

$x^2 + y^2 - 2xy - z^2$ を因数分解します。

$x^2 + y^2 - 2xy$ は $(x - y)^2$ と変形できます。

したがって、与式は $(x - y)^2 - z^2$ となります。

これは $(x - y)^2 - z^2 = (x - y + z)(x - y - z)$ と因数分解できます。（二乗の差の公式）

(3)

$3x^2 + ax - 2a^2 + 4x - a + 1$ を因数分解します。

$3x^2 + (a + 4)x - 2a^2 - a + 1$

$3x^2 + (a + 4)x - (2a^2 + a - 1)$

$2a^2 + a - 1 = (2a - 1)(a + 1)$ なので

$3x^2 + (a + 4)x - (2a - 1)(a + 1)$

$(3x - (2a - 1))(x + (a + 1))$

$(3x - 2a + 1)(x + a + 1)$

(4)

$ab^2 - bc^2 - b^2c - c^2a$ を因数分解します。

$ab^2 - bc^2 - b^2c - c^2a$

$ab^2 - c^2a - bc^2 - b^2c$

$a(b^2 - c^2) - bc(c + b)$

$a(b - c)(b + c) - bc(b + c)$

$(b + c)(a(b - c) - bc)$

$(b + c)(ab - ac - bc)$

$-(b + c)(ac + bc - ab)$

3. 最終的な答え

(1) $(2x + a)(3x - b)$

(2) $(x - y + z)(x - y - z)$

(3) $(3x - 2a + 1)(x + a + 1)$

(4) $-(b + c)(ac + bc - ab)$