与えられた4x4の行列式の値を計算します。行列式は以下の通りです。 $ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 5 & 7 \\ 3^2 & 2^2 & 5^2 & 7^2 \\ 3^3 & 2^3 & 5^3 & 7^3 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4の行列式の値を計算します。行列式は以下の通りです。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 & 1 \\

3 & 2 & 5 & 7 \\

3^2 & 2^2 & 5^2 & 7^2 \\

3^3 & 2^3 & 5^3 & 7^3

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

この行列式はヴァンデルモンドの行列式に似ています。ヴァンデルモンドの行列式は次の形をしています。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\

x_1 & x_2 & x_3 & \dots & x_n \\

x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 & \dots & x_n^2 \\

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & x_3^{n-1} & \dots & x_n^{n-1}

\end{vmatrix} = \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i)

$$

今回の行列式は $x_1=3, x_2=2, x_3=5, x_4=7$ の場合のヴァンデルモンド行列式なので、次のようになります。

$$

\begin{aligned}

\begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 & 1 \\

3 & 2 & 5 & 7 \\

3^2 & 2^2 & 5^2 & 7^2 \\

3^3 & 2^3 & 5^3 & 7^3

\end{vmatrix}

&= (2-3)(5-3)(7-3)(5-2)(7-2)(7-5) \\

&= (-1)(2)(4)(3)(5)(2) \\

&= -240

\end{aligned}

$$

3. 最終的な答え

-240