放物線 $y = x^2 + px + q$ の頂点が直線 $y = -\frac{1}{2}x - 3$ 上にあるとき、以下の問いに答える問題です。 (1) $q$ のとりうる値の範囲を求めよ。 (2) 放物線 $y = x^2 + px + q$ が原点を通過するとき、頂点の座標を求めよ。 (3) 放物線 $y = x^2 + px + q$ が $x$ 軸と異なる2点で交わり、かつその2点間の距離が2であるとき、頂点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 + px + q$ の頂点が直線 $y = -\frac{1}{2}x - 3$ 上にあるとき、以下の問いに答える問題です。

(1) $q$ のとりうる値の範囲を求めよ。

(2) 放物線 $y = x^2 + px + q$ が原点を通過するとき、頂点の座標を求めよ。

(3) 放物線 $y = x^2 + px + q$ が $x$ 軸と異なる2点で交わり、かつその2点間の距離が2であるとき、頂点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y = x^2 + px + q$ を平方完成します。

$y = (x + \frac{p}{2})^2 - \frac{p^2}{4} + q$

したがって、頂点の座標は $(-\frac{p}{2}, -\frac{p^2}{4} + q)$ となります。

頂点が直線 $y = -\frac{1}{2}x - 3$ 上にあるので、

$-\frac{p^2}{4} + q = -\frac{1}{2}(-\frac{p}{2}) - 3$

$-\frac{p^2}{4} + q = \frac{p}{4} - 3$

$q = \frac{p^2}{4} + \frac{p}{4} - 3$

$q = \frac{1}{4}(p^2 + p) - 3$

$q = \frac{1}{4}((p + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}) - 3$

$q = \frac{1}{4}(p + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{16} - 3$

$q = \frac{1}{4}(p + \frac{1}{2})^2 - \frac{49}{16}$

$(p + \frac{1}{2})^2 \ge 0$ であるから、

$q \ge -\frac{49}{16}$

(2)

放物線 $y = x^2 + px + q$ が原点 $(0, 0)$ を通過するとき、$0 = 0^2 + p(0) + q$ より $q = 0$ です。

(1) の結果より、

$0 = \frac{p^2}{4} + \frac{p}{4} - 3$

$p^2 + p - 12 = 0$

$(p + 4)(p - 3) = 0$

$p = -4, 3$

$p = -4$ のとき、頂点の座標は $(-\frac{-4}{2}, -\frac{(-4)^2}{4}) = (2, -4)$

$p = 3$ のとき、頂点の座標は $(-\frac{3}{2}, -\frac{3^2}{4}) = (-\frac{3}{2}, -\frac{9}{4})$

(3)

$y = x^2 + px + q = 0$ の解を $\alpha, \beta$ とします。

$|\alpha - \beta| = 2$ より、$(\alpha - \beta)^2 = 4$

解と係数の関係より、$\alpha + \beta = -p, \alpha\beta = q$

$(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = (-p)^2 - 4q = p^2 - 4q = 4$

$p^2 - 4q = 4$

(1) の結果より、$q = \frac{p^2}{4} + \frac{p}{4} - 3$

$p^2 - 4(\frac{p^2}{4} + \frac{p}{4} - 3) = 4$

$p^2 - p^2 - p + 12 = 4$

$-p = -8$

$p = 8$

$q = \frac{8^2}{4} + \frac{8}{4} - 3 = \frac{64}{4} + 2 - 3 = 16 + 2 - 3 = 15$

頂点の座標は $(-\frac{p}{2}, -\frac{p^2}{4} + q) = (-\frac{8}{2}, -\frac{8^2}{4} + 15) = (-4, -16 + 15) = (-4, -1)$

判別式 $D = p^2 - 4q = 8^2 - 4(15) = 64 - 60 = 4 > 0$ であるから、$x$ 軸と異なる2点で交わる。

3. 最終的な答え

(1) $q \ge -\frac{49}{16}$

(2) $(2, -4), (-\frac{3}{2}, -\frac{9}{4})$

(3) $(-4, -1)$