与えられた行列 $A$, $x$, $b$ に対して、 $Ax = b$ が成り立つ。また、$A$ のLU分解 $A = LU$ が与えられている。 (1) LU分解を満たす $L$ と $U$ を選択肢から選ぶ。 (2) 行列式 $|A|$ を求める。 (3) $U^{-1}$ を求め、対角成分と1行4列目の成分を答える。 (4) $L^{-1}$ を求め、対角成分と4行2列目の成分を答える。 (5) $A^{-1}$ を $L$ と $U$ を用いて表す。 (6) $x$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$, $x$, $b$ に対して、 $Ax = b$ が成り立つ。また、$A$ のLU分解 $A = LU$ が与えられている。

(1) LU分解を満たす $L$ と $U$ を選択肢から選ぶ。

(2) 行列式 $|A|$ を求める。

(3) $U^{-1}$ を求め、対角成分と1行4列目の成分を答える。

(4) $L^{-1}$ を求め、対角成分と4行2列目の成分を答える。

(5) $A^{-1}$ を $L$ と $U$ を用いて表す。

(6) $x$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $A = LU$ を満たす $L$ と $U$ を探す。行列 $A$ を実際に計算し、与えられた行列 $A$ と比較する。

$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 3 & 9 \\ 1 & 4 & 4 & 11 \end{bmatrix}$

選択肢(a): $L = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 & 1 \end{bmatrix}$, $U = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$LU = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 3 \\ 2 & 4 & 3 & 9 \\ 1 & 4 & 4 & 11 \end{bmatrix}$ これは $A$ と異なる。

選択肢(b): $L = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 & 1 \end{bmatrix}$, $U = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$LU = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 3 & 9 \\ 1 & 4 & 4 & 11 \end{bmatrix}$ これは $A$ と一致する。

(2) $A = LU$ であるとき、行列式 $|A| = |L| \cdot |U|$ である。

$|L|$ は対角成分の積であり、$|L| = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$.

$|U|$ も対角成分の積であり、$|U| = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$.

したがって、 $|A| = 1 \cdot 1 = 1$.

(3) $U = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ の逆行列 $U^{-1}$ を求める。

$U^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$U^{-1}$ の対角成分は 1, 1, 1,

1. 1行4列目の成分は -

2.

(4) $L = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ の逆行列 $L^{-1}$ を求める。

$L^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & -2 & 1 & 0 \\ 5 & -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$

$L^{-1}$ の対角成分は 1, 1, 1,

1. 4行2列目の成分は -

1.

(5) $A = LU$ より、 $A^{-1} = (LU)^{-1} = U^{-1} L^{-1}$.

(6) $Ax = b$ より、 $LUx = b$. $y = Ux$ とおくと、$Ly = b$.

$L = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 & 1 \end{bmatrix}$, $b = \begin{bmatrix} 8 \\ 7 \\ 35 \\ 35 \end{bmatrix}$.

$y_1 = 8, y_2 = 7, 2y_1 + 2y_2 + y_3 = 35 \Rightarrow 16 + 14 + y_3 = 35 \Rightarrow y_3 = 5, y_1 + 3y_2 + y_3 + y_4 = 35 \Rightarrow 8 + 21 + 5 + y_4 = 35 \Rightarrow y_4 = 1$.

$y = \begin{bmatrix} 8 \\ 7 \\ 5 \\ 1 \end{bmatrix}$.

次に、$Ux = y$ を解く。

$U = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.

$x_4 = 1, x_3 + 3x_4 = 5 \Rightarrow x_3 = 2, x_2 + x_3 + 2x_4 = 7 \Rightarrow x_2 + 2 + 2 = 7 \Rightarrow x_2 = 3, x_1 + x_2 + x_4 = 8 \Rightarrow x_1 + 3 + 1 = 8 \Rightarrow x_1 = 4$.

$x = \begin{bmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$.

3. 最終的な答え

(1) b

(2) 1

(3) 対角成分: 1, 1, 1, 1, 1行4列目の成分: -2

(4) 対角成分: 1, 1, 1, 1, 4行2列目の成分: -1

(5) $A^{-1} = U^{-1}L^{-1}$

(6) $x = \begin{bmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$