$Q^n = (S^{-1}PS)^n$ を考え、$Q^n$ と $P^n$ の関係を求め、 $P^n = SQ^nS^{-1}$ を計算し、以前の問題の結果と一致することを確認する。

1. 問題の内容

$Q^n = (S^{-1}PS)^n$ を考え、$Q^n$ と $P^n$ の関係を求め、 $P^n = SQ^nS^{-1}$ を計算し、以前の問題の結果と一致することを確認する。

2. 解き方の手順

まず、$Q^n$ を計算します。

$Q^n = (S^{-1}PS)^n = (S^{-1}PS)(S^{-1}PS)...(S^{-1}PS)$.

$S^{-1}S = E$ (単位行列)を利用して、

$(S^{-1}PS)^n = S^{-1}P(SS^{-1})P(SS^{-1})...(SS^{-1})PS = S^{-1}(PEPE...EP)S = S^{-1}(PP...P)S = S^{-1}P^nS$.

したがって、$Q^n = S^{-1}P^nS$.

次に、$P^n$ を計算します。

$P^n = SQ^nS^{-1} = S(S^{-1}P^nS)S^{-1} = (SS^{-1})P^n(SS^{-1}) = E P^n E = P^n$.

$SQ^nS^{-1}= SS^{-1}P^nSS^{-1}= EP^nE = P^n$.

3. 最終的な答え

$Q^n = S^{-1}P^nS$

$P^n = SQ^nS^{-1} = P^n$