(1) 関数 $y = |x^2 - x - 2| - 2x$ のグラフを描く。 (2) 方程式 $|x^2 - x - 2| = 2x + k$ の異なる実数解の個数を調べる。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = |x^2 - x - 2| - 2x$ のグラフを描く。

(2) 方程式 $|x^2 - x - 2| = 2x + k$ の異なる実数解の個数を調べる。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $y = |x^2 - x - 2| - 2x$ のグラフを描く。

まず、$x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$ であるから、$x^2 - x - 2 = 0$ となるのは $x = 2, -1$ のときである。

したがって、

$x^2 - x - 2 \geq 0$ となるのは、$x \leq -1$ または $x \geq 2$ のとき。

$x^2 - x - 2 < 0$ となるのは、$-1 < x < 2$ のとき。

したがって、

$x \leq -1$ または $x \geq 2$ のとき、

$y = x^2 - x - 2 - 2x = x^2 - 3x - 2 = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{17}{4}$

$-1 < x < 2$ のとき、

$y = -(x^2 - x - 2) - 2x = -x^2 + x + 2 - 2x = -x^2 - x + 2 = -(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{9}{4}$

よって、$y = |x^2 - x - 2| - 2x$ のグラフは、

$x \leq -1$ または $x \geq 2$ のとき、$y = x^2 - 3x - 2$

$-1 < x < 2$ のとき、$y = -x^2 - x + 2$

となる。

(2) 方程式 $|x^2 - x - 2| = 2x + k$ の異なる実数解の個数を調べる。

これは、関数 $y = |x^2 - x - 2| - 2x$ のグラフと、直線 $y = k$ の交点の個数を調べるのと同じである。

(1) で描いたグラフと直線 $y = k$ の交点の個数を、$k$ の値によって分類すればよい。

$y = |x^2 - x - 2| - 2x$ のグラフにおいて、

$x = -1$ のとき、$y = -(-1)^2 - (-1) + 2 = -1 + 1 + 2 = 2$

$x = 2$ のとき、$y = 2^2 - 3(2) - 2 = 4 - 6 - 2 = -4$

$x = -\frac{1}{2}$ のとき、$y = -(-\frac{1}{2})^2 - (-\frac{1}{2}) + 2 = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 2 = \frac{9}{4}$

$x = \frac{3}{2}$ のとき、$y = (\frac{3}{2})^2 - 3(\frac{3}{2}) - 2 = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} - 2 = \frac{9 - 18 - 8}{4} = -\frac{17}{4}$

グラフを描いて考える。

$k < -4$ のとき、交点の個数は0個

$k = -4$ のとき、交点の個数は1個

$-4 < k < -\frac{17}{4}$ のとき、交点の個数は2個

$k = -\frac{17}{4}$ のとき、交点の個数は3個

$-\frac{17}{4} < k < 2$ のとき、交点の個数は4個

$k = 2$ のとき、交点の個数は3個

$2 < k < \frac{9}{4}$ のとき、交点の個数は2個

$k = \frac{9}{4}$ のとき、交点の個数は1個

$k > \frac{9}{4}$ のとき、交点の個数は0個

3. 最終的な答え

$k < -4$ のとき、0個

$k = -4$ のとき、1個

$-4 < k < -\frac{17}{4}$ のとき、2個

$k = -\frac{17}{4}$ のとき、3個

$-\frac{17}{4} < k < 2$ のとき、4個

$k = 2$ のとき、3個

$2 < k < \frac{9}{4}$ のとき、2個

$k = \frac{9}{4}$ のとき、1個

$k > \frac{9}{4}$ のとき、0個